Perbedaan perbedaan terkait perbandingan volume
Membiarkan $(M,g)$ menjadi lengkap $n$-dimensi berjenis Riemannian dan biarkan $p \in M$. Mempertimbangkan$(t,\Theta)$ , koordinat bola geodesik di sekitar $p$, dimana $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ dan $\Theta$ adalah vektor satuan $T_pM$. Membiarkan$A_p(t,\Theta)$menjadi kerapatan ukuran volume dalam koordinat ini, yaitu \ begin {persamaan *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {persamaan *} Teorema terkenal status Gromov itu jika$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, maka peta \ begin {persamaan} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {persamaan} bukan -meningkat$t$. Seperti biasa,$sn_{\kappa}$diberikan oleh \ begin {align *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {cases} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & k> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {cases} \ end {align *} Sekarang saya ingin membuktikan hasil yang sama saat kelengkungan bagian$M$dibatasi dari atas. Artinya, jika$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, kemudian
\ begin {persamaan *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ kiri (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ kanan) + \ kappa \ kiri (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ kanan) \ geqslant 0 \ end {persamaan *} I ' Saya mencoba meniru argumen yang diberikan oleh Gromov, membiarkan$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ dan hitung itu $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, dimana $\text{II}(t)$ adalah bentuk dasar kedua dari $\partial B(p,t)$. Tetapi karena kami tidak membuktikan pernyataan tentang monotonisitas, saya tidak tahu bagaimana saya bisa menghilangkan kekuatannya$(n-2)$. Membedakan ekspresi seperti itu secara langsung tampak menakutkan dan membosankan, dan saya yakin ada jalan pintas ke masalah ini karena sangat mirip dengan perkiraan norma bidang Jacobi. Setiap wawasan masalah akan dihargai.
$\textbf{Update}$: Beberapa hari yang lalu saya pikir saya punya solusi tetapi setelah diperiksa ulang saya tidak berpikir itu berhasil. Inilah yang saya lakukan: Biarkan$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ seseorang dapat menggunakan trik kalkulus $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $untuk menghitung bahwa \ begin {align *} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {align *} dan itu \ begin {align *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ teks {tr} (\ teks {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ end {align *} Perhatikan bahwa$\varphi(t)$ tidak negatif bila $t$kecil, jadi untuk menunjukkan bahwa pertidaksamaan asli adalah benar, itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa \ begin {persamaan *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ teks {tr} (\ teks {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {persamaan *}
Ingat estimasi perbandingan kedua (cf Peterson Page 145 Cor 2.4) menyatakan bahwa jika kelengkungan bagian di atas dibatasi oleh $\kappa$, maka setiap komponen bentuk fundamental kedua dapat dibatasi dari bawah, yaitu \ begin {persamaan *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {persamaan *} yang memberi kita \ begin {persamaan} \ text {tr } (\ teks {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ teks {sn} '_ {K} (t)} {\ teks {sn} _ {K} (t)} \ menandai{$\star \star$} \ end {persamaan} dan \ begin {persamaan *} \ teks {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {persamaan *} Saya pikir masukkan kembali ekspresi ini$\star$akan menyelesaikan masalah, karena \ begin {persamaan *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)})' + ( \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {persamaan *} Tapi saya berhasil kesalahan fatal dengan menyatakan itu$f \geqslant g$ menyiratkan $f' \geqslant g'$! Sepertinya saya kembali ke titik awal, meskipun saya memiliki ekspresi yang relatif bagus. Wawasan atau bantuan apa pun akan dihargai.
Jawaban
Jadi profesor saya memberi saya ide tentang bagaimana menyelesaikan masalah ini. Setelah kita mendapatkan \ begin {persamaan *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Bagian A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Bagian B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {persamaan *} Kita bisa menggunakan persamaan Riccati untuk menulis ulang \ begin {align *} \ text {Bagian A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ teks {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ teks {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {align *} Dan setelah meluaskan$\text{Part B}$, $\star$menjadi \ begin {align *} & \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Bagian A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Bagian B}} + \ kappa \\ \ geqslant & \ teks {tr} (\ teks {II} (t)) ^ 2- \ teks {tr} (\ teks {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ teks {tr} (\ teks {II} (t)) \ frac {\ teks {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ teks {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ teks {II} (t)) \ frac {\ teks {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ teks {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ teks {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {align *} di mana$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ adalah nilai eigen dari $\text{II}(t)$. Ketimpangan terakhir mengikuti perbandingan Hessian, yang ditunjukkan dalam Corollary 2.4 dalam buku Petersen.