Perilaku asimtotik model epidemi SIR

Question

Model epidemi SIR menyajikan tiga persamaan diferensial untuk tiga variabel tergantung waktu $s(t), i(t), r(t)$:

$$\begin{align} \frac{ds}{dt} & = - \beta i s \\ \frac{di}{dt} & = \beta i s - \gamma i \\ \frac{dr}{dt} & = \gamma i \end{align}$$

Diasumsikan bahwa variabel non-negatif, $s(t) + i(t) + r(t) = 1$, dan koefisien $\beta, \gamma$positif. Dalam literatur, hal itu diklaim atau diambil sebagai bukti dengan sendirinya

$$ \lim_{t \to \infty} i(t) = 0 $$

Bagaimana perilaku ini dapat dibuktikan dengan ketat?

Answer 1

Pertama perhatikan bahwa kita hanya perlu melihat diagram fasa $s\times i$, sejak $r=1-s-i$. Melihat diagram fase, kita akan mengabaikan waktu (bagian lintasan yang berbeda akan terwujud dalam kecepatan yang berbeda), hal ini dimungkinkan karena sistemnya otonom.

Pertama, kita perlu membuktikan bahwa sistem menyatu ke beberapa titik, lalu kita akan menemukan kandidatnya. Membiarkan$V(s,i) = s$, kita punya $\frac{d}{dt}V((s(t), i(t))) = -\beta s(t)i(t) \leq 0$, kemudian, dengan teorema LaSalle: $$ \lim_{t\to\infty} d( (s(t), i(t)), E) = 0$$ dimana $E = \{ (s,i) : -\beta si = 0 \} = \{ (s,i) : s = 0\text{ or }i=0 \}$.

Sekarang kita dapat mempelajari lintasan dan menemukan batas pastinya.

Perhatikan bahwa jika $\exists t^*$ seperti yang $i(t^*)=0$ atau $s(t^*)=0$kita selesai. Kasus$i(t^*) = 0$ memiliki turunan nol dan kasusnya $s(t^*) = 0$ menyiratkan itu $i(t)$ memiliki peluruhan eksponensial.

Karena SEIR adalah sistem otonom yang kita miliki, dengan teorema fungsi implisit, pada poin-poin seperti itu $\frac{ds}{dt} \neq 0$: $$ \frac{di}{ds} = \frac{ \frac{di}{dt} }{ \frac{ds}{dt} } = \frac{\gamma}{\beta s}-1 \Rightarrow i(s) = \frac{\gamma}{\beta}\ln{\frac{s}{s_0}} - s + i_0 + s_0 $$

Kita punya $\frac{ds}{dt} \neq 0 \Leftrightarrow s> 0\text{ and }i>0$. Dan itu juga benar$s$ menurun dengan $t$ di $s>0$ dan $i>0$. Begitu:$$ \lim_{t\to\infty} i(t) = \inf_{\substack{i>0\\s_0\geq s>0}} \left\{\frac{\gamma}{\beta}\ln{\frac{s}{s_0}} - s + i_0 + s_0 \right\} = 0$$

$$ \lim_{t\to\infty} s(t) = \inf \{ s\geq 0 : i(s) \geq 0 \}$$

Inf di atas terdefinisi dengan baik sejak $\lim_{s\to 0} i(s) = \lim_{s\to \infty} i(s) = -\infty$ (hanya untuk bersenang-senang: itu juga memiliki maksimal $s=\frac{\gamma}{\beta}$, artinya dari titik awal mana pun dengan $s> \frac{\gamma}{\beta}$ de infeksi akan tumbuh sampai $s = \frac{\gamma}{\beta}$ dan kemudian mulai membusuk, saat kita mencapai $s\leq \frac{\gamma}{\beta}$ kita memiliki apa yang disebut "kekebalan ternak").

Merencanakan semua yang kami punya, kami memiliki: