Peringkat elemen dalam ekstensi generik versus peringkat namanya

Dec 04 2020

Saya terkadang melihat fakta berikut digunakan dalam beberapa argumen:

seharusnya $M[G]$ adalah ekstensi umum dari $M$ dengan sebuah pemaksaan $\mathbb P$ dan misalkan $x\in M[G]$ memiliki pangkat $<\gamma$, dimana $\gamma$ adalah beberapa batas ordinal di atas pangkat$(\mathbb{P})$. Lalu ada nama$\tau\in M^\mathbb{P}$ seperti yang $\tau_G=x$ dan $\tau$ memiliki pangkat $<\gamma$.

Misalnya, fakta ini digunakan dalam The Ground Axiom karya Reitz untuk membuktikan bahwa model ground dapat didefinisikan, pada akhir paragraf pertama dalam bukti Lemma 7.1.

Tapi saya tidak yakin bagaimana membuktikannya. Setiap bantuan dihargai!

Ditambahkan setelah edit: jika kita berasumsi demikian $\gamma$ adalah $\beth$-titik tetap (ekuivalen, $H_\gamma=V_\gamma$. Ini berlaku dalam kasus khusus dalam Lemma 7.1 yang dirujuk di atas), maka menurut saya argumen berikut berhasil.

Dengan induksi peringkat, kami menunjukkan bahwa jika $x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, lalu ada nama $\sigma\in H_\gamma\cap M^{\mathbb{P}}$ seperti yang $\sigma_G=x$. Jadi misalkan ini berlaku untuk semua set pangkat lebih rendah dari$x$. Karenanya masing-masing$y\in trcl(x)$ punya nama $n(y)$ yang peringkatnya lebih rendah dari $\gamma$. Sekarang kumpulkan semua nama itu, mari$z=\{n(y)\mid y\in trcl(x)\}$. Sejak$x\in (H_\gamma)^{M[G]}$, kita tahu $|trcl(x)|=\kappa<\gamma$. Ini juga berarti itu$|z|=\kappa$. Klaim kardinalitas sebelumnya semuanya dalam arti$M[G]$, dan kami memperbaiki perkiraan $f:\kappa\to z$ di $M[G]$.

Membiarkan $\rho$ menjadi nama untuk $x$ dan $\tau$ menjadi nama untuk $z$. Sejujurnya, lemma, kami dapat memperbaiki beberapa$p\in G$ seperti yang $$ p\Vdash \rho\in (H_\gamma)^{M[G]} \wedge \text{ every element of } \rho \text{ has a name of rank } <\gamma \\ \wedge \tau \subseteq \check{(H_\gamma)} \wedge\dot{f}:\kappa \to \tau \text{ is a surjection} $$

Kami kemudian melanjutkan untuk menentukan nama peringkat rendah kami $\sigma$ untuk $x$. Untuk setiap$\alpha<\kappa$, kami biarkan

$$ X_\alpha = \{ q \in \mathbb{P} \mid \ (\exists \pi \in H_{\gamma}\cap M^{\mathbb{P}})~ q \leq p \wedge q \Vdash (\dot{f}(\alpha)=\check{\pi} \wedge \pi \in \rho)\} $$ Dengan kata lain, $X_\alpha$ mengumpulkan kondisi tersebut di bawah $p$ yang akan memaksa (evaluasi) suatu elemen masuk $z$ menjadi elemen dari $x$.

Sekarang untuk masing-masing $X_\alpha$, perbaiki antichain maksimal $A_\alpha$bahwa itu berpotongan. Untuk setiap$\alpha<\kappa$ dan $q\in X_\alpha\cap A_\alpha$, ada beberapa $\mathbb P$-nama $v(\alpha,q)$ seperti yang $q\Vdash v(\alpha,q)\in\rho\wedge \dot f(\alpha)=\check{v(\alpha,q)}$. Sekarang kita bisa menentukan namanya$\sigma$ menjadi $$ \sigma = \{(\pi,q)\mid (\exists\alpha)( \alpha < \kappa \wedge q \in X_{\alpha} \cap A_{\alpha} \wedge \pi = v(\alpha,q))\} $$ Kemudian $\sigma$ adalah nama di $H_\gamma\cap M^{\mathbb P}$, dan $p\Vdash \sigma=\rho$.

Sunting kedua: sepertinya kasus khusus yang digambarkan di atas memiliki duplikat (?) Terlepas dari itu, saya masih tertarik untuk melihat bagaimana membantah klaim yang lebih kuat yang dikutip.

Jawaban

2 HanulJeon Dec 06 2020 at 04:05

Saya akan bekerja kembali $V$ dari pada $M$. Saya pikir bukti berikut berhasil$\mathsf{ZFC^-}$ (yaitu, $\mathsf{ZFC}$ tanpa Power Set dan dengan Collection dan asas penataan yang baik) dengan adanya $\mathcal{P}(\mathbb{P})$. (Terutama, itu bertahan$M=H_\theta$ untuk reguler besar $\theta$.)

Kata pengantar singkat. Membiarkan$x\in V^\mathbb{P}$ jadilah nama seperti itu $\operatorname{rank}x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$ dan $\gamma$ menjadi ordinal lebih besar dari $\operatorname{rank}\mathbb{P}$. Jika$p\Vdash \operatorname{rank}x=\check{\gamma}$, lalu ada $\tau\in V^\mathbb{P}$ seperti yang

  • $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$, dan

  • $\operatorname{rank}\tau\le\gamma_0+3n$, dimana $\gamma=\gamma_0+n$ untuk beberapa batasan $\gamma_0$ dan $n\in\omega$.

Izinkan saya memperkenalkan beberapa notasi tentang ordinal: untuk setiap ordinal $\alpha$, $\alpha^*$ dan $\alpha^@\in\omega$ jadilah ordinal seperti itu $\alpha=\alpha^*+\alpha^@$ dan $\alpha^*$ adalah batas ordinal.

Saya akan menggunakan induksi pada peringkat $x$. Tanpa kehilangan keumuman, kita dapat berasumsi demikian

  1. jika $(y,q)\in x$ kemudian $q\le p$, dan

  2. (Kedekatan ke bawah) jika $(y,q)\in x$ dan $r\le q$, kemudian $(y,r)\in x$

dengan mengganti $x$ untuk $$x'=\{(y,r)\mid \exists q (y,q)\in x \text{ and } r\le p,q\}.$$ Sejak $\operatorname{rank} x\ge\operatorname{rank}\mathbb{P}$, kita punya $\operatorname{rank}x'\le\operatorname{rank}x$.

Kemudian untuk masing-masing $(y,q)\in x$, $q\Vdash \operatorname{rank}y<\check{\gamma}$. Temukan antikain maksinal$A_{y,q}$ di bawah $q$ yang menentukan nilai atau $\operatorname{rank}y$; yaitu jika$r\in A_{y,q}$ lalu ada ordinal $\beta_{y,q,r}<\gamma$ seperti yang $r\Vdash \operatorname{rank}y=\check{\beta}_{y,q,r}$.

Dengan hipotesis induktif, kita dapat menemukannya $\tau_{y,q,r}$ seperti yang $r\Vdash y=\tau_{y,q,r}^{\dot{G}}$ dan $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@.$$ Sekarang ambil $$\tau=\{(\tau_{y,q,r},r)\mid (y,q)\in x\text{ and }r\in A_{y,q}\}.$$ Lalu kita bisa buktikan $p\Vdash x=\check{\tau}^{\dot{G}}$. Itu tetap untuk memeriksa pangkat$\tau$. Kita bisa lihat itu$$\operatorname{rank}(\tau_{y,q,r},r)\le\max(\operatorname{rank}r, \beta_{y,q,r}^*+3\beta_{y,q,r}^@)+2$$

  1. Kasus 1. Jika $\gamma$ adalah batas ordinal, maka sisi kanan kurang dari $\gamma$. Karenanya$\operatorname{rank}\tau\le\gamma$.

  2. Kasus 2. Jika $\gamma=\gamma_0+n$ untuk beberapa batasan $\gamma_0$ dan $1\le n<\omega$, kemudian $$p\Vdash \forall y\in x (\operatorname{rank} y\le\check{\gamma}_0+\check{n}-1).$$ Karenanya yang sesuai $\beta_{y,q,r}$ memuaskan $\beta_{y,q,r}\le \gamma_0+n-1$, dan dengan demikian $\tau_{y,q,r}$ memuaskan $$\operatorname{rank}\tau_{y,q,r}\le\gamma_0+3(n-1).$$ Argumen yang tersisa langsung, dan kami punya $\operatorname{rank} \tau\le\gamma_0+3n$.