Perkembangan aritmatika dari bilangan prima gaussian

Question

Diberikan $u\in\mathbb{C}$ dan $v\in\mathbb{C}$ mari pertimbangkan perkembangan berikut: $$z_n=u+nv\;\;\;\;\;\;\;\;\;n\ge 0$$

Apakah mungkin untuk menemukan perkembangan $z_n$ menghasilkan bilangan prima gaussian untuk urutan panjang sembarang nilai berurutan n?

Sebagai contoh, $z_n=-13-2i+n(3+i)$ menghasilkan bilangan prima gaussian untuk semua nilai $0\le n\le 8$ (periksa norma $|z_n|^2=10n^2-82n+173$):

Jika tidak, diketahui perkembangan panjang maksimum?

Terimakasih banyak.

Answer 1

Teorema Green - Tao juga menunjukkan bahwa terdapat progresi aritmatika yang sangat panjang di antara bilangan prima (rasional) yang kongruen dengan 3 modulo 4. Lihat misalnya pertanyaan MO ini Apakah Teorema Green-Tao benar untuk bilangan prima dalam perkembangan aritmatika tertentu? .

Karena bilangan prima rasional apa pun yaitu 3 mod 4 adalah bilangan prima Gauss, ini menunjukkan bahwa bilangan prima Gaussian berisi progresi aritmatika yang panjangnya sewenang-wenang.

(Ini mungkin kelas contoh yang sedikit tidak memuaskan. Saya tidak tahu apakah ada progresi aritmatika yang panjang dari bilangan prima di $\mathbf{Z}[i]$ yang tidak ada $\mathbf{Z}$ atau $i \mathbf{Z}$.)

Answer 2

Teorema Tao arxiv.org/abs/math/0501314 mengatakan: dengan kumpulan poin yang terbatas$v_i \in \mathbb{Z}[i]$ ada sangat banyak $a\in \mathbb{Z}[i],r\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ seperti itu semua $a+rv_i$adalah bilangan prima Gaussian. Memilih bentuk dari dua garis sejajar, katakanlah$v_{1,j}=j,v_{2,j}=i+j,j\in \{1, \ldots,k\}$, menunjukkan bahwa ada juga progresi panjang dari bilangan prima Gaussian tidak semuanya pada garis nyata, (yang juga menjawab pertanyaan yang dibiarkan terbuka oleh David). Seseorang juga dapat mengambil garis, katakanlah, dengan sudut 45 derajat.