Permintaan referensi: Generalisasi multidimensi dari teorema dasar kalkulus
$\newcommand\R{\mathbb R}$Membiarkan $f\colon\R^p\to\R$menjadi fungsi yang berkelanjutan. Untuk$u=(u_1,\dots,u_p)$ dan $v=(v_1,\dots,v_p)$ di $\R^p$, biarkan $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Membiarkan $F\colon\R^p\to\R$ menjadi antiturunan apapun $f$, dalam artian $$D_1\cdots D_p F=f,$$ dimana $D_j$ adalah operator diferensiasi parsial sehubungan dengan $j$argumen th; Diasumsikan bahwa hasil dari diferensiasi parsial yang berulang ini tidak bergantung pada urutan argumen yang berkaitan dengan turunan parsial yang diambil. Membiarkan$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Untuk setiap set$J\subseteq[p]$, biarkan $|J|$ menunjukkan kardinalitas $J$.
Maka tidak sulit untuk menetapkan generalisasi multidimensi berikut dari teorema dasar kalkulus ( Lemma 5.1 ): \ begin {persamaan} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {persamaan} di mana$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
Adakah yang pernah melihat pernyataan ini atau serupa di tempat lain? (Saya hanya bertanya tentang referensi, bukan bukti.)
Jawaban
Untuk fakta mendasar seperti ini, yang mungkin telah diciptakan kembali ribuan kali, sulit untuk menemukan makalah pertama di mana ini muncul. Namun, izinkan saya memberikan beberapa konteks yang hilang. Ada seluruh industri dalam teori medan kuantum konstruktif dan mekanika statistik tentang rumus interpolasi "pintar" terkait atau rumus Taylor dengan sisa integral. Ini digunakan untuk melakukan apa yang disebut perluasan cluster . Untuk identitas OP, tidak ada kehilangan keumuman dalam mengambil$u=(0,0,\ldots,0)$ dan $v=(1,1,\ldots,1)$. Dalam hal ini, melalui inversi Möbius di kisi Boolean , rumusnya berasal dari identitas berikut.
Membiarkan $L$menjadi satu set yang terbatas. Membiarkan$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ menjadi fungsi yang cukup mulus, dan biarkan $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, kemudian $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ dimana $\psi_A(\mathbf{h})$ adalah elemennya $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ dari $\mathbb{R}^L$ didefinisikan dari elemen $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ di $[0,1]^A$ dengan aturan: $x_{\ell}=0$ jika $\ell\notin A$ dan $x_{\ell}=h_{\ell}$ jika $\ell\in A$. Tentu saja kita perlu 1) menerapkan ini pada semua$L$yang merupakan himpunan bagian dari $[p]$, 2) menggunakan inversi Mbius di kisi Boolean, dan 3) mengkhususkan untuk $L=[p]$, dan ini memberikan identitas OP.
Rumus di atas adalah yang paling naif dari jenisnya yang digunakan untuk melakukan ekspansi kluster "sepasang kubus". Lihat rumus III.1 di artikel
A. Abdesselam dan V. Rivasseau, "Pohon, hutan dan rimba: taman botani untuk perluasan cluster" .
Itu juga dijelaskan dengan kata-kata di halaman 115 buku
V. Rivasseau, "Dari Perturbatif ke Renormalisasi Konstruktif" .
Sekarang rumusnya adalah kasus khusus yang jauh lebih kuat, yaitu, Lemma 1 in
A. Abdesselam dan V. Rivasseau, "Ekspansi kluster multiskala bidang besar versus kecil yang eksplisit" ,
di mana satu jumlah lebih dari urutan "diperbolehkan" $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ dari panjang sembarang elemen $L$, sebagai ganti subset dari $L$. Gagasan tentang diizinkan didasarkan pada aturan penghentian yang sewenang-wenang. Identitas di atas sesuai dengan "diizinkan"$=$"tanpa pengulangan", atau aturan penghentian yang tidak boleh diterapkan pada file $\ell$di akhir urutan di mana itu sudah muncul. Dengan bermain-main dengan pilihan aturan berhenti seperti ini, seseorang dapat menggunakan Lemma 1 dari artikel saya dengan Rivasseau, untuk membuktikan formula Hermite-Genocchi, formula Taylor anisotropik oleh Hairer dalam Lampiran A dari "Teori struktur keteraturan" dan banyak hal lainnya. . Kapan$f$ adalah eksponensial dari bentuk linier misalnya, seseorang dapat memperoleh berbagai identitas aljabar seperti pada tulisan MO
identitas fungsi rasional
Identitas yang melibatkan jumlah di atas permutasi
Saya lupa menyebutkan, seseorang dapat menggunakan Lemma 1 untuk mendapatkan rumus Taylor dari kalkulus 1. Ini sesuai dengan $L$ memiliki satu elemen dan menentukan urutan yang diizinkan sebagai yang memiliki panjang paling banyak $n$. Lihat
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
Itu $p=2$kasus dimensional adalah latihan dalam buku teks kalkulus Rogawski. Ini adalah latihan 47 di halaman 885, bagian 15.1 (Integrasi dalam Beberapa Variabel) dalam edisi Transendental Awal 2008.