Permukaan Riemann eliptik, parabola, dan hiperbolik: klasifikasi?

Question

Dalam buku Kra and Farkas on Riemann muncul definisi berikut (sedikit tidak biasa) diberikan:

Definisi IV.3.2 ( Bagian IV.3 ). Membiarkan$M$menjadi permukaan Riemann. Kami akan menelepon$M$ elips jika dan hanya jika$M$kompak. Kami akan menelepon$M$ parabola jika dan hanya jika$M$ tidak kompak dan $M$tidak membawa fungsi subharmonic non-negatif. Kami akan menelepon$M$ hiperbolik jika dan hanya jika$M$ tidak membawa fungsi subharmonic non-konstan negatif.

Pertanyaan. Adakah cara geometris untuk mengkarakterisasi permukaan parabola dan hiperbolik? Misalnya, misalkan$M$ adalah permukaan Riemann kompak dan $x_1,\ldots, x_n$adalah poin di atasnya. Apakah permukaannya$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$ parabola?

Answer 1

Ini adalah terminologi yang agak tidak biasa, tetapi umum dalam teori klasifikasi permukaan Riemann terbuka. Notasi yang lebih standar$P_G$ untuk "parabola", dan $O_G$ untuk "hiperbolik".

Permukaan $M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$ dalam pengertian ini adalah parabola, oleh "teorema singularitas yang dapat dilepas" (fungsi subharmonik yang dibatasi dari atas dalam lingkungan tertusuk titik meluas ke fungsi subharmonik di lingkungan penuh).

Ada beberapa kriteria, khususnya untuk permukaan formulir $M\backslash E$, dimana $M$ kompak dan $E$adalah bagian tertutup. Tetapi kriteria ini tidak terlalu geometris: mereka menggunakan kapasitas. Beberapa hasil dapat diberikan dalam hal ukuran Hausdorff$E$ tetapi mereka tidak "perlu dan cukup".

Hasil klasik dapat ditemukan di buku

M. Tsuji, Teori potensial dalam teori fungsi modern, Maruzen, Tokyo, 1959 (ada cetakan ulang AMS).

Ahlfors, Sario, permukaan Riemann, Princeton UP, 1960.