Persamaan antara dua definisi kategori yang memiliki objek eksponensial

Question

Sebuah kategori dengan produk dikatakan memiliki eksponensial jika untuk semua objek$x, y$ ada sebuah objek $y^x$ dilengkapi dengan anak panah $e\colon x\times y^x\to y$ sedemikian rupa untuk semua objek $z$ dan semua anak panah $f\colon x\times z\to y$ ada panah unik $\bar{f}\colon z\to y^x$ memuaskan $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

Saya melihat bahwa jika sebuah kategori memiliki eksponensial, maka $f\mapsto \bar{f}$ adalah isomorfisme alami antara $hom(x\times z, y)$ dan $hom(z, y^x)$ dengan kebalikan $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. Oleh karena itu functor tersebut$x\times (-)$ dibiarkan bersebelahan $(-)^x$.

Saya bertanya-tanya tentang kebalikannya: jika $C$ adalah kategori dengan produk sedemikian rupa $x\times (-)$ memiliki sambungan yang tepat, apakah itu mengikuti $C$ memiliki eksponensial?

Secara khusus, jika kita berasumsi begitu $x\times (-)$ memiliki sambungan yang tepat, bagaimana kita memperlengkapi $y^x$ dengan panah $e\colon x\times y^x\to y$. Juga, bagaimana kita menyimpulkan persamaan itu$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ memegang dengan tepat?

Entah bagaimana keberadaan adjoint yang benar $x\times (-)$ terasa lebih lemah dan lebih abstrak daripada definisi properti universal dari kategori yang memiliki eksponensial yang diberikan di atas.

Answer 1

Saya kira seseorang membutuhkan AC untuk memilih objek $y^x$ untuk setiap $x$ dan $y$.

Menerima ini, seseorang mendapat panah $e$dari formalisme unit / dewan di tambahan. Jika$F$ adalah sambungan yang tepat dari $x\times(-)$ lalu secara alami, $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ Mengambil $a=Fy$. Kemudian$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ Identitas di sebelah kiri mengarah ke homomorfisme $e:x\times Fy\to y$di kanan. Kami menunjukkan$Fy$ sebagai $y^x$, dan ini $e:x\times y^x\to y$ adalah peta eksponensial.