Pertanyaan di Milnor & Stacheff - Kelas Karakteristik, Konstruksi Kelas Chern

Question

Paragraf berikut diambil dari buku:

Kami sekarang akan memberikan definisi induktif kelas karakteristik untuk kompleks $n$-bundel pesawat $\omega=(\pi: E\to M)$. Jika perlu terlebih dahulu untuk membangun kanonik$(n-1)$-bundel pesawat $\omega_0$ melebihi total ruang yang dihapus $E_0$. ($E_0$ menunjukkan himpunan semua vektor bukan nol dalam $E$.) Sebuah poin masuk $E_0$ ditentukan oleh serat $F$ dari $\omega$ bersama dengan vektor bukan nol $v$dalam serat itu. Pertama, anggaplah metrik Hermitian telah ditentukan pada$\omega$. Kemudian serat$\omega_0$ menurut definisi, pelengkap ortogonal dari $v$ di ruang vektor $F$. Ini adalah ruang vektor dimensi yang kompleks$n-1$, dan ruang vektor ini dengan jelas dapat dianggap sebagai serat dari bundel vektor baru $\omega_0$ lebih $E_0$.

Pertanyaan: Saya mengerti berapa total ruang $\omega_0$didefinisikan. Tetapi bagaimana topologi ruang total didefinisikan? Tidak ada yang menyebutkannya.

Answer 1

Pertimbangkan pemetaan berikut:

$\require{AMScd}$ \ mulai {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}

yang menginduksi bundel mundur $\bar \pi : \pi^*E \to E$, di mana untuk masing-masing $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (artinya, serat hanyalah serat $F_x$, dimana $x = \pi(v)$). $\pi^*E$diberi topologi bundel pullback. Sejak$E_0$ adalah bagian dari $E$, pembatasan memberikan satu bundel

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

dan bundelnya $\omega_0$dibangun di buku ini adalah sub-bundel dari (1). Plus adalah memiliki topologi subruang yang diberikan oleh (1).