Pertanyaan fungsi hipergeometrik yang berdekatan

Aug 18 2020

Saya menemukan fungsi hipergeometrik $$_2F_1\left(k+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2};\frac{3}{2},z\right)$$ dimana $k \geq 1$ adalah bilangan bulat, dan saya yakin ini sama dengan $$\frac{p(z)}{(1-z)^{(4k-1)/2}}$$ dimana $p$ adalah polinomial derajat $k-1$(Wolframalpha mengkonfirmasi beberapa nilai pertama). Saya mengerti bahwa ini harus mengikuti dari beberapa hubungan yang melibatkan fungsi hipergeometrik yang berdekatan, tetapi saya tidak tahu caranya, dan tidak memiliki referensi yang baik (perpustakaan di universitas saya ditutup untuk COVID-19). Saya sebenarnya tidak peduli tentang koefisien dalam polinomial, karena saya hanya mencoba menunjukkan integral itu berhingga. Adakah yang bisa menempatkan saya di jalur yang benar?

Terima kasih banyak, Greg

Jawaban

3 Anatoly Aug 18 2020 at 12:53

Ini mengikuti dari transformasi Euler

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)\\=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)$$

Dalam kasus Anda, kami punya

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =(1-z)^{\frac 12-2k}{}_{2}F_{1}\left(1-k,1-k;\frac 32;z\right)$$

Sekarang fungsi hipergeometrik di kanan dapat diperluas sebagai rangkaian terbatas $k$elemen. Ini menciptakan polinomial kelas$k-1$dicatat dalam OP. Dengan definisi deret pangkat biasa, ini disederhanakan menjadi

$$\begin{aligned} &{k=1 \rightarrow 1}\\ &k=2 \rightarrow 1+ \frac{2z}{3}\\ &k=3 \rightarrow 1+\frac{8z}{3}+\frac{8z^2}{15}\\ &k=4 \rightarrow 1+6z+\frac{24z^2}{5}+\frac{16z^3}{35} \end{aligned} $$dan seterusnya. Generalisasi, polinomial adalah

$$p(z)=\sum_{n=0}^{k-1} \frac{[(1-k)_n]^2 }{(3/2)_n}\frac{z^n}{n!}$$

dimana $(z)_n$adalah simbol Pochhammer untuk faktorial naik. Kami menyimpulkan itu

$$\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(k+\frac 12,k+\frac 12;\frac 32;z\right)\\ =\frac{p(z)}{(1-z)^{2k-\frac{1}{2}}}$$