$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ dan perkalian dengan $2$
Saya ingin menghitung kelompok fundamental dari bidang proyektif nyata $\text{P}^2(\mathbb{R})$ menggunakan teorema SVK.
Untuk tujuan ini, saya memilih untuk menjadi model $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ sebagai disk unit $\{x:\|x\|\leq 1\}$ di $\mathbb{R}^2$ hasil bagi dengan mengidentifikasi titik antipodal yang terletak di batas.
saya ambil
- $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
- $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, dimana $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
- $A\cap B$
yang semuanya terhubung dengan jalur.
Sekarang, perbaiki satu poin $x_0 \in A\cap B.$
$A$ dapat diperbaiki dengan deformasi menjadi $S^1$, yang seperti itu $A \approx S^1$ dan $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ Pencabutan $r_A:A \to S^1$ menginduksi isomorfisme $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ yang diberikan oleh $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ untuk setiap loop $\lambda$ di $A.$
Jika saya menelepon $c$ loop yang sesuai dengan $1 \in \mathbb{Z}$ di bawah isomorfisme, saya memiliki persamaan $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; deformasi, memberi jalan$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ dari $x_0$ untuk $r(x_0),$ juga memberikan presentasi $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $, di mana sekarang kita bisa melihat generator sebagai loop dengan titik akhir $x_0$ dari pada $r(x_0).$
Di samping itu, $B$ dapat dikontrak $\{x_0\},$ begitu $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$
Terakhir, memilih lingkaran lain $S^1_{x_0}$ melewati $x_0$, Saya menarik kembali $A \cap B$ untuk itu sehingga $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$
Inklusi $A \cap B \subset B$ menginduksi morfisme $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ yang hanya bisa menjadi peta sepele yang mengirimkan semuanya ke jalur konstan di $x_0.$
Selanjutnya, inklusi $A \cap B \subset A$ menginduksi morfisme kelompok $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ diberikan oleh $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ untuk setiap loop $\ell$ di $A \cap B$ dengan titik akhir $x_0.$
Saya ingin memahami bagaimana membuktikan peta itu $a_*$ seperti yang didefinisikan di atas harus perkalian dua $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
Jawaban
Morfisme $a_*$ mengambil satu putaran $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ dan mengirimkannya ke loop terkait di $\pi_1(A,x_0),$ yang, karena peta diinduksi oleh penyertaan, adalah adil $[\ell]_A$, (mis $\ell$ modulo homotopi dalam $A$).
Sekarang kita lihat $[\ell]_A$ dalam $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ melalui isomorfisme $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$, dan kita mempunyai $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ karena di perbatasan titik antipodal bisa diidentifikasi, jadi kita pergi dua kali di sekitar lingkaran luar sebagai $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (di sini kelas kesetaraan adalah poin $S^1$).
Menarik kembali ke $\pi_1(A,x_0)$ kita mendapatkan $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ dan kami menyimpulkan.
Membiarkan $i:S^1\to D^2$ menjadi dimasukkannya batas dan $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ proyeksi kanonik.
Khususnya, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ faktor melalui $\partial$ (dan dengan demikian melalui $A$, tapi penyertaannya $\partial \to A$adalah kesetaraan homotopi); ayo panggil$\alpha :S^1\to\partial$ peta yang kita dapatkan.
Kami tahu itu $\partial \cong S^1$, jadi apa itu peta $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ?
Nah Anda memiliki diagram komutatif berikut:
$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$
dimana petanya $\partial \to P^2(\mathbb R)$adalah inklusi. Jika kami mengidentifikasi$\partial \cong S^1$, peta $S^1\to S^1$ adalah secara sederhana $z\mapsto z^2$: itu adalah penghitungan eksplisit yang dapat Anda buat. Mungkin lebih mudah untuk benar-benar mendefinisikannya$\partial$ dengan cara itu, dan periksa apakah Anda mendapatkan hal yang sama.
Saya pikir itu mungkin poin utama yang tidak jelas bagi Anda, jadi jika masih belum jelas, jangan ragu untuk memberi tahu saya.
Khususnya, $\alpha_*=$ perkalian dengan $2$.
Tetapi juga, $i$ homotopic dengan dimasukkannya $S^1$ di lingkaran yang lebih kecil di $D^2$, dan oleh karena itu $p\circ i$ adalah homotopic dengan homeomorfisme $S^1\to S^1_{x_0}$.
Jadi Anda memiliki diagram komutatif homotopi berikut:
$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$
Pengambilan $\pi_1$, sejak $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ adalah isomorfisme dan $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ adalah perkalian dengan $2$, akhirnya kami mendapatkannya $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ adalah perkalian dengan $2$.
(Secara teknis Anda mungkin harus khawatir tentang titik dasar: setidaknya ada dua cara untuk menangani hal ini di sini: 1- perhatikan bahwa semua kelompok fundamental yang terlibat adalah abelian, sehingga tidak mengubah apa pun; atau 2- melakukan alasan yang sama tetapi dengan groupoids fundamental, dan pada akhirnya menambal semuanya)
Ide dasarnya adalah sebagai berikut, saya pikir saya akan melakukan pembuktian yang serupa dengan Anda, jadi bersabarlah.
Seperti yang Anda lakukan, pertimbangkan bidang proyektif $X$ dan ambil satu poin $x_0$di dalamnya. Kemudian$U = X\smallsetminus x_0$ deformasi retraksi ke dalam bola.
Ambil bola kecil $V$ sekitar $x_0$, yang seperti itu $V\cap U$ juga deformasi retraksi menjadi bola.
Sekarang untuk $V\cap U$, Anda tidak akan mengidentifikasi titik batas apa pun, tetapi di $U$, di bidang batas, Anda akan mengidentifikasi mereka. Ini memiliki konsekuensi berikut bahwa Anda dapat membentuk diagram komutatif
$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$
dimana peta vertikal adalah derajat $2$. Pada dasarnya, ini akan mengirim loop pembangkitan$U\cap V$yang berliku sekali di sekitar batas ke yang akan berputar dua kali di sekitar batas$U$, karena di sana Anda akan mengidentifikasi titik antipodal.
Menambahkan. Jika Anda ingin lebih tepat, perhatikan bahwa loop pembangkit untuk$U$ dapat dianggap sebagai loop di disk unit yang menggambar setengah bulan, pergi dari $-1$ untuk $1$ dalam garis hampir lurus hilang asal dan kemudian melalui busur. Hal ini membuatnya mudah untuk melihat bahwa loop pembangkit $U\cap V$ akan mewakili dua kali loop sebelumnya dalam $U$.