Pita tertanam dan isotop biasa

Aug 18 2020

Saya membaca makalah Kauffman tahun 1990 "An Invariant of Regular Isotopy" tentang knot yang isotop hanya melalui gerakan Reidemeister Tipe II dan III, yang dikenal sebagai isotop biasa. Makalahnya mengklaim ada hubungan antara isotop biasa dan pita tertanam ($S^1 \times [0,1]$) di $S^3$. Dia mengacu pada buku teks Burde's Knots, tetapi saya tidak dapat menemukan isotop biasa, karena tampaknya Kauffman menciptakan frasa itu di koran, setelah teks Burde ditulis.

Saya pikir isotop simpul biasa sesuai dengan pita yang tertanam. Namun, saya khawatir mungkin ada patologi yang saya abaikan. Adakah yang punya pernyataan pasti tentang hubungan itu?

Jawaban

2 CalvinMcPhail-Snyder Aug 19 2020 at 19:51

Dari diagram simpul mana pun, seseorang dapat memperoleh simpul berbingkai dengan mengambil "bingkai papan tulis." Inti dari isotop reguler diagram simpul adalah untuk mempertahankan bingkai papan tulis ini. Karena simpul berbingkai dan pita tertanam adalah hal yang sama, isotop biasa juga akan mempertahankan pita tertanam yang sesuai dengan bingkai papan tulis dari diagram simpul.

Saya berasumsi ini dibahas lebih rinci di Burde, mungkin dalam hal simpul berbingkai. Mungkin juga Burde tidak membahas knot berbingkai sama sekali, karena saya pikir orang menjadi lebih tertarik setelah penemuan polinomial Jones / TQFT Chern-Simons. Dan saya setuju: Saya pikir Kauffman menciptakan istilah "isotop biasa," jadi mungkin tidak digunakan di Burde.

5 AndyPutman Aug 20 2020 at 00:36

Ini lebih merupakan komentar daripada jawaban, tapi saya harap ini membantu. Ada gagasan yang jauh lebih tua dan lebih baik dipelajari tentang homotopi biasa . Membiarkan$X$ dan $Y$ menjadi lipatan halus dan biarkan $f,g\colon X \rightarrow Y$jadilah pencelupan. Kemudian$f$ dan $g$ secara teratur homotopic jika homotopic melalui perendaman.

Mari fokus pada kelas pencelupan homotopi biasa $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Pencelupan seperti itu adalah apa yang Anda dapatkan dari diagram simpul dengan melupakan persimpangan atas / bawah. Tidak sulit untuk melihat jika$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ secara teratur adalah pencelupan homotopic dengan perpotongan sendiri melintang $f$ dapat diubah menjadi $g$dengan urutan analog yang jelas dari gerakan Reidemeister II / III. Namun, Anda tidak dapat melakukan analogi Reidemeister I bergerak karena pada saat Anda menarik loop Anda dengan kuat, turunannya harus menghilang, jadi ini bukan homotopi biasa.

Dugaan saya adalah bahwa inilah yang sedang dipikirkan Kauffman. Ngomong-ngomong, kelas homotopi perendaman biasa$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$dapat diklasifikasikan sepenuhnya. Mengambil turunan dari pencelupan dan penskalaan semacam itu untuk membuat turunan memiliki panjang satuan, Anda mendapatkan peta terkait$S^1 \rightarrow S^1$. Derajat peta ini disebut derajat pencelupan, dan teorema Whitney-Graustein mengatakan bahwa derajat ini adalah invarian lengkap. Teorema ini adalah pendahulu awal teorema pencelupan Hirsch-Smale, yang untuk kasus khusus pencelupan$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ termasuk Smale's terkenal "sphere eversions" yang mengubah sphere inside-out.

4 ScottCarter Aug 20 2020 at 00:36

Diagram digambar di pesawat. Batasi untuk simpul (bukan tautan). Arahkan kurva, & kaitkan ke setiap persimpangan a (+/-) melalui aturan tangan Kanan: telapak tangan di sepanjang persimpangan dengan kelingking mengarah ke arah kurva + di bawah persimpangan. Jempol ke atas = tanda +. Jumlahkan semua penyeberangan. Ini menggeliat. Writhe menentukan self-linking simpul dengan push-off. Gambar \ infty +, \ infty-, dan 0. \ infty + memiliki busur dengan kemiringan + sebagai busur atasnya. Gambarkan kurva push off pada bidang, dan hitung angka penghubung <- perhitungan rumit, paling baik dilakukan dengan menggunakan gerakan RI untuk membentuk tautan Hopf. Simpul & push-off mengikat anulus. Jika self-linking # dari simpul tersebut adalah 0, maka anulus meluas ke permukaan Seifert. Push-off menentukan bujur yang diinginkan. Namun secara umum, kurva berbingkai black-board memiliki self-linking = writhe. Dengan kurva \ alpha - \ gamma Anda dapat menggambar ini dengan 4 cara. 2 memiliki 0 menggeliat, 1 memiliki +2, yang lainnya -2. Yang dengan 0 menggeliat biasanya homotopic dengan unknot. 2 lainnya membutuhkan gerakan tipe I. Di suatu tempat di Kauffman, Anda akan melihat trik Whitney. Kurva alpha-gamma memiliki 1 ketegaran ke luar dan 1 ketegaran ke dalam. Ada kurva alfa-alfa dan kurva gamma-gamma: dua atau dua dalam resp. Dalam kedua kasus, geliat dapat diatur seperti kabel telepon, atau dapat dibatalkan. Kasus pembatalan itu rumit. Di sana diags ada di S ^ 2.Eg, bigon yang dibatasi dalam casing gamma gamma ada di luar. Itulah mengapa Anda perlu melakukan isotop berbingkai di S ^ 3 daripada R ^ 3. [! [0 dan - / + kurva tak terhingga