Poli minimal $\sqrt[3]{2}$ lebih $\Bbb{Q}$ adalah sama dengan $\det(T_a - xI)$ dimana $T_a$ adalah matriks berakhir $\Bbb{Q}$yang mewakili mult. oleh $a$.
Membiarkan $K/F$ menjadi perluasan bidang gelar $n \in \Bbb{N}$ dan untuk masing-masing $a \in K$ menetapkan $L_a(x) = a x$. Kemudian$L_a(x)$ adalah $F$transformasi linier $K$ sebagai ruang vektor dimensi $n$. Jadi kirim$K$ ke $F^{n \times n}$ cincin matriks dengan mengirim $a$ untuk $T_a = [ L_a(\theta_1) \ \cdots \ L_a(\theta_n) ]$ dimana secara abstrak kita miliki $L = \{ a_1 \theta_1 + \dots + a_n \theta_n : a_i \in F\}$ untuk beberapa $\theta_i$ dasar di $K$.
Kemudian untuk $a \in K$, $f(x) = \det (T_a - xI) \in F[X]$ polinomial karakteristik, kita punya itu $f(a) = 0$ yaitu itu $a$ adalah akar dari polinomial karakteristik yang merupakan derajat $n$ begitu juga polinomial karakteristik sebenarnya $m_{a, F}(x)$ polinomial minimal untuk $a$ lebih $F$.
Saya mencoba membuktikan ini dalam kasus umum, yaitu $f(a) = 0$ atau setara itu $T_a(y) = ay$ untuk semua $y \in F^n$.
Yang saya miliki sejauh ini adalah:
$$ T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i L_a(\theta_i) \\ \implies T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i (a \theta_i) = a \cdot \dots $$
Jadi saya sudah mendapatkannya sejauh ini. Lalu masalah mengatakan, uji gagasan ini untuk menemukan monik derajat$3$ puas dengan $a = \sqrt[3]{2}$.
Jadi saya ingin menghitung determinan dari:
$$ \begin{pmatrix} x - \sqrt[3]{2} & 0 & 0 \\ 0 & x - \sqrt[3]{4} & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix} $$
di mana saya telah membalikkan tanda kesederhanaan. Saya menghitung di atas dengan mengalikan$\theta_1 = 1, \theta_2 = \sqrt[3]{2}, $ dan $\theta_3 = \sqrt[3]{4}$ oleh $a$ dan menguranginya dari $x$.
Saya mendapatkan:
$$ x^3 - 2 x^2 + (2 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}) x - 4 $$
yang bukan polinomial berakhir $F$. Istilah buruk yang kudapat dengan melakukan$(-\sqrt[3]{2})(-2) + (-\sqrt[3]{4})(-2) + (-\sqrt[3]{2})(-\sqrt[3]{4})$ dengan cara yang logis dan simetris.
Di mana saya salah dalam perhitungan saya?
Jawaban
Saya pikir Anda sudah menghitung $T_a$salah. Saya berasumsi Anda menggunakan basis yang dipesan$(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ untuk $K$ sebagai $\mathbb Q$-vektor ruang ( edit: Saya melihat bahwa Anda). Jadi melamar$L_a$ untuk memberikan vektor basis pertama $L_a(1)=\sqrt[3]{2}$. Dalam kaitannya dengan vektor koordinat yang relatif terhadap basis terurut ini, ini adalah$$L_a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ jadi ini harus menjadi kolom pertama $T_a$. Saya akan menyerahkan kepada Anda untuk memeriksa kolom lainnya.
Terakhir, catatan kecil: seharusnya $\det(xI-T_a)$ agar polinomial minimal menjadi monik.