Real positif memuaskan $ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $, tentukan maksimum kuantitas berikut
Jadi, real positif memenuhi hal-hal berikut
$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$
Dan saya perlu menemukan jumlah maksimum berikut.
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
Sekarang, dengan menggunakan ketidaksetaraan Cauchy Schwarz, saya mengerti
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$
Ini mengarah ke
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$
Saya terjebak dengan bagian lain. Saya bisa mendapatkan nilai minimum berikut ini dengan menggunakan teknik serupa.
$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$
Tetapi saya harus memiliki jumlah maksimum ini, sehingga saya dapat menggabungkan keduanya. Setiap petunjuk akan membantu.
Jawaban
Kita bisa mengikat jumlah kedua sebagai berikut. Menggunakan ketidaksetaraan Cauchy-Schwarz, kami memiliki yang berikut ini.
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$
Sekarang, saya akan menggunakan ketidaksetaraan Hölder.
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$
$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$
Jadi, gabungkan dengan persamaan $(1)$, Saya mendapat,
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$
Akhirnya, menggabungkan dua jumlah, saya mengerti
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$
$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$
Semoga membantu