Real positif memuaskan $ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $, tentukan maksimum kuantitas berikut

Aug 18 2020

Jadi, real positif memenuhi hal-hal berikut

$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$

Dan saya perlu menemukan jumlah maksimum berikut.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Sekarang, dengan menggunakan ketidaksetaraan Cauchy Schwarz, saya mengerti

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$

Ini mengarah ke

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$

Saya terjebak dengan bagian lain. Saya bisa mendapatkan nilai minimum berikut ini dengan menggunakan teknik serupa.

$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Tetapi saya harus memiliki jumlah maksimum ini, sehingga saya dapat menggabungkan keduanya. Setiap petunjuk akan membantu.

Jawaban

1 user9026 Aug 20 2020 at 10:16

Kita bisa mengikat jumlah kedua sebagai berikut. Menggunakan ketidaksetaraan Cauchy-Schwarz, kami memiliki yang berikut ini.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$

Sekarang, saya akan menggunakan ketidaksetaraan Hölder.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$

$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$

Jadi, gabungkan dengan persamaan $(1)$, Saya mendapat,

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$

Akhirnya, menggabungkan dua jumlah, saya mengerti

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$

Semoga membantu