Referensi yang diminta untuk teorema teori homotopi

Question

Saya menemukan posting ini: Kelompok homotopi berjenis topologi kompak yang menyatakan dengan tepat hasil yang saya butuhkan untuk teorema yang sedang saya kerjakan. Namun, saya memerlukan referensi, karena penonton tidak perlu terlalu paham tentang teori homotopi.

Bisakah seseorang menyarankan di mana saya dapat menemukan hasilnya:

Teorema: Setiap halus yang tertutup, terhubung$d$-berjenis $M$ memiliki peta kontinu dan bukan nullhomotopic $f: S^{d'} \rightarrow M$ untuk beberapa bidang $S^{d'}$ dengan $1 \leq d' \leq \dim(M)$.

Dengan kata lain, jika $M$ adalah manifold halus yang tertutup dan terhubung maka ada yang tidak sepele $\pi_{d'}(M)$ untuk beberapa $d'\leq \dim(M)$.

Answer 1

Ini bukan referensi tapi bukti singkat:

jika tidak, maka dengan $d'=1$ kami melihat itu $M$ harus terhubung secara sederhana.

Secara khusus, jika semua kelompok homologinya lenyap, maka $M$dapat dikontraskan. Tetapi kelompok homologi dalam dimensi$> \dim(M)$ selalu menghilang, dan hipotesisnya menyiratkan (oleh Hurewicz) bahwa kelompok homologi dalam dimensi $\leq \dim(M)$ lenyap juga.

Ini menyiratkan itu $M$ dapat dikontrak, yang tidak mungkin karena dualitas Poincaré (baik mod $2$, atau secara integral karena $M$ terhubung dengan mudah)

Sederhananya: $M$ adalah mod $2$-orientasi, jadi harus memiliki mod nontrivial $2$-cohomology, ini harus dalam dimensi $\leq \dim(M)$, tetapi hipotesis menyiratkan tidak, menurut teorema Hurewciz.