Regularisasi dimensi energi mandiri elektron dari buku Ryder

Question

Saya Mempelajari Energi Diri Elektron menggunakan buku teks Ryder, Di halaman 334 kita dapat melihat

Mendefinisikan$k'=k-pz$dan menghindari istilah linier dalam$k'$(karena terintegrasi ke nol) memberikan \begin{equation} \Sigma(p)=-ie^2\mu^{4-d}\int_0^1dz\gamma_\mu({\not} p-{\not} p z+m)\gamma^\mu\int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1 -z)]^2}.\label{r2.7}\end{persamaan} [...] Integral ini dilakukan dengan bantuan persamaan (9A.5), menghasilkan \begin{persamaan} \Sigma(p )=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2}}\int_0^1dz\gamma_ \mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}. \end{persamaan}

Persamaan 9A.5 adalah \begin{equation} \int\frac{d^dp}{(p^2+2pq-m^2)^{\alpha}}=(-1)^{d/2}\ imath\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(\alpha-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{[-q^ 2-m^2]^{\alpha-d/2}} .\tag{9A.5} \end{equation} Saya tidak mengerti bagaimana dia menerapkan integral ini (9A.5) untuk mendapatkan hasil \begin {persamaan} \Sigma(p)=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2} }\int_0^1dz\gamma_\mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2 }. \end{equation} tolong bantu saya untuk mendapatkan ide.

Answer 1

Ini hanya soal menerapkan hasilnya (9A.5) ke integral dalam$d^d k^\prime$. Bahkan panggilan$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$dan taruh$q=0$dalam integral (9A.5)$$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

di mana kami baru saja mengubah variabel integrasi dari$k^\prime$ke$p$untuk membuatnya lebih jelas dari hasil 9A.5. Menggunakan fakta bahwa$\Gamma(2) = 1$, menggunakan definisi di atas dari$M^2$dan menyederhanakan sedikit yang Anda dapatkan$$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$di mana kami menggunakan fakta bahwa$2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

Bandingkan integran kedua dalam persamaan pertama dengan t dia di grand di 9A5. Kamu melihatnya$\alpha \rightarrow 2$,$q \rightarrow 0$,$ -m^2 \rightarrow etc.$akan mengubah satu integran menjadi yang lain. Melakukan pergantian yang sama di rhs 9A5 akan memberi Anda hasil yang diinginkan.