Representasi integral tak terpisahkan dari sekelompok orde 2 "dengan tangan"

Aug 15 2020

Pertanyaan ini merupakan duplikat dari pertanyaan MO 2010 tersebut .

Saya tertarik untuk mengklasifikasikan kelas isomorfisme $n$representasi integral -dimensi dari grup siklik $C_2$ pesanan $2$. Jelas, representasi integral dari$C_2$adalah jumlah langsung dari representasi integral yang tidak dapat diuraikan .

Hasil berikut ini terkenal:

Dalil. Grup$C_2$ memiliki tepat 3 kelas isomorfisme dari representasi integral tak terurai:

(1) sepele;

(2) representasi tanda;

(3) representasi 2 dimensi dengan matriks $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$

Hasil ini dikemukakan dalam jawaban Victor Protsak . Lihat juga jawaban Todd Leason .

Dalam komentarnya, Victor Protsak memberikan referensi. Dia menulis: "Curtis dan Reiner, Bab 11. Ini kasus khusus dari sebuah teorema di Bagian 74 yang mengklasifikasikan representasi integral dari kelompok siklik dari orde utama. Secara alami, kasus ini jauh lebih mudah dan dapat dilakukan dengan tangan."

Pertanyaan. Bagaimana membuktikan teorema di atas "dengan tangan", tanpa mengacu pada buku oleh Curtis dan Reiner?

Motivasi: Saya sekarang bekerja dengan aljabar$\mathbb R$-tori. Mereka diklasifikasikan oleh representasi integral dari kelompok Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, yang merupakan sekelompok pesanan $2$. Untuk memahami klasifikasi terkenal dari tidak dapat diurai$\mathbb R$-tori, saya perlu memahami klasifikasi terkenal representasi integral tak terurai dari ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.

Saya mengajukan pertanyaan yang tampaknya mendasar ini di Mathematics StackExchange , tetapi tidak mendapat jawaban atau komentar, jadi saya menanyakannya di sini.

Jawaban

2 LSpice Aug 16 2020 at 20:49

Dalam Computing with real tori , Casselman memiliki tulisan yang bagus tentang teorema ini dari sudut pandang tidak hanya membuktikan bahwa ini adalah satu-satunya tori yang tidak dapat diuraikan, tetapi, seandainya Anda diberi representasi integral eksplisit dari$\operatorname C_2$, secara eksplisit menemukan / menghitung dekomposisinya menjadi tiga representasi ini.

Faktanya, jika Anda (Anda pembaca umum, belum tentu @MikhailBorovoi) tidak terbiasa dengan karya terbaru Bill Casselman, sebaiknya lihat halamannya. http://www.math.ubc.ca/~cass; dia sudah sangat tertarik untuk melakukan komputasi aktual, dalam arti hal-hal yang dapat dimasukkan ke dalam komputer, yang berkaitan dengan kelompok aljabar. Di atas adalah salah satu contoh; yang lainnya dapat ditemukan dihttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, termasuk, misalnya, Penghitungan konstanta struktur menurut Jacques Tits — hal- hal yang kita semua tahu dapat dilakukan tetapi sebagian besar dari kita (setidaknya saya!) akan menciut dari benar - benar melakukan , di sini dijelaskan dengan cara yang menunjukkan bagaimana untuk melaksanakannya secara praktis.

(Ada juga beberapa hal bagus pada grafik matematika !)