Ruang padat merupakan bahan kontras lokal

Question

Saya punya pertanyaan saat membaca The Topology of Fiber Bundles dari Steenrod , bagian 12.

Sebuah ruang $Y$disebut solid if, untuk ruang normal apa pun$X$, subset tertutup $A$ dari $X$, dan peta $f:A\to Y$, di sana ada peta $f':X\to Y$ seperti yang $f'|_A=f$.

Membiarkan $Y$ menjadi kokoh seperti itu $Y\times I$normal. Perbaiki satu poin$y_0\in Y$. Catat itu$A:=(Y\times 0)\cup (y_0\times I)\cup (Y\times I)$ adalah himpunan bagian tertutup dari $Y\times I$. Menetapkan$f:A\to Y$ oleh $f(y,0)=y$, $f(y,1)=y_0$ dan $f(y_0,t)=y_0$. Kemudian soliditas$Y$ menyiratkan itu $f$ meluas ke $f':Y\times I\to Y$. Sekarang$f'$ adalah homotopi dari $\textrm{id}_Y$ ke peta konstan $Y\to y_0$. Jadi$Y$dapat dikontraskan. Sejak$y_0$ sewenang-wenang, itu juga mengikuti itu $Y$ dapat dikontrak secara lokal.

Saya tidak mengerti mengapa $Y$dapat dikontrak secara lokal. Bagaimana argumen ini menunjukkan bahwa setiap poin$Y$ memiliki lingkungan lokal kecil yang sewenang-wenang?

Answer 1

Notasi yang lebih umum untuk ruang padat adalah "ekstensor absolut untuk ruang normal".

Konstruksi Anda dari $f'$ menunjukkan bahwa $(Y,y_0)$adalah kontras runcing untuk masing-masing$y_0 \in Y$. Ini langsung menyiratkan itu

Untuk setiap lingkungan terbuka $U$ dari $y_0$ di $Y$ di sana ada lingkungan terbuka $V$ dari $y_0$ di $Y$ terkandung di $U% $ sedemikian rupa sehingga inklusi $V \hookrightarrow U$ adalah null-homotopic.

Jika properti ini puas, $Y$disebut kontraktor lokal di$y_0$. Jika$Y$dapat dikontraskan secara lokal di semua titiknya, ia disebut dapat dikontrak secara lokal .

Ini adalah definisi standar. Syaratnya masing-masing$y_0 \in Y$memiliki lingkungan yang sewenang-wenang (terbuka) yang dapat dikontraskan lebih kuat dan saya ragu itu benar untuk semua ekstensor absolut. Anda harus memeriksa definisi Steenrod.

Lihat juga ANR dapat dikontrak secara lokal .