Secara intuitif, apa tumpang tindih / perbedaan umum antara transformasi konformal vs ortogonal, atau istilah secara umum?

Question

Saya mengalami kesulitan menemukan definisi yang jelas tentang perbedaan antara keduanya dalam istilah praktis / geometris. Transformasi ortogonal adalah yang bertemu permukaan koordinat atau lintasan pada sudut siku-siku, dan transformasi konformal adalah yang mempertahankan sudut.

Saya dapat melihat bagaimana gagasan tersebut tumpang tindih, dan memiliki intuisi yang tidak jelas tentang perbedaannya, tetapi saya mengalami masalah dalam mengklarifikasi perbedaan persisnya, khususnya dalam konteks kalkulus diferensial / vektor sehubungan dengan konsep seperti Jacobian dan properti pelestarian area , persamaan diferensial untuk lintasan ortogonal, transformasi integral, dll.

Atau dalam istilah yang lebih langsung, kapan sesuatu itu ortogonal tetapi tidak konformal, dan sebaliknya, dan kapan keduanya?

Answer 1

Peta linear konformal adalah komposisi peta homothety (bentangan) dan peta linear ortogonal.

Answer 2

Bagian terpenting dari intuisi adalah ini: Transformasi ortogonal khusus adalah rotasi. Transformasi ortogonal adalah rotasi ditambah refleksi. Transformasi konformal adalah rotasi ditambah dilasi. Transformasi konformal dan antikonformal adalah rotasi ditambah dilatasi ditambah refleksi.

Secara matematis, ini berarti: Transformasi ortogonal mempertahankan produk skalar. Transformasi ortogonal khusus juga mempertahankan orientasi (determinan positif). Transformasi konformal dan antikonformal mempertahankan sudut. Transformasi konformal juga mempertahankan orientasi (determinan positif). Lebih tepatnya, transformasi ortogonal$T$ memuaskan

$$\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle,$$

sementara transformasi ortogonal khusus juga memuaskan

$$\det T>0.$$

Bahkan dapat ditunjukkan bahwa transformasi ortogonal sudah memuaskan $\det T=\pm1$, membuat $\det T=1$untuk transformasi ortogonal khusus. Transformasi konformal dan antikonformal$S$ memuaskan

$$\frac{\langle Sv,Sw\rangle}{\Vert Sv\Vert\Vert Sw\Vert}=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v\Vert\Vert w\Vert},$$

(untuk $v,w\neq0$) sementara peta konformal juga memuaskan $\det S>0$. Dapat dibuktikan bahwa hal ini membuat transformasi (anti) konformal sama dengan peta ortogonal dikalikan dengan konstanta bukan nol. Transformasi (Anti) konformal dengan demikian adalah transformasi ortogonal dengan pelebaran tambahan. Jika kita menyebut berbagai kelompok yang mengandung transformasi tersebut$\operatorname{O},\operatorname{SO}$ (ortogonal dan ortogonal khusus), $\operatorname{CO}$ (konformal plus antikonformal), dan $\operatorname{CSO}$ (hanya konformal), maka kami memiliki hubungan berikut:

$$ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{O}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{SO}\subsetneq\operatorname{CSO}\subsetneq\operatorname{CO}\\ \operatorname{CO}=I\cdot\operatorname{O}\\ \operatorname{CSO}=I\cdot\operatorname{SO},$$

dimana $I$ adalah kelompok dilatasi.