Selisih antara suku-suku berurutan dari barisan yang meningkat yang terdiri dari bilangan bulat positif yang terdiri dari banyak bilangan prima berhingga

Aug 16 2020

Seandainya $\{x_n\}$ adalah urutan meningkat yang elemennya adalah bilangan bulat positif yang terdiri dari banyak bilangan prima hingga $p_1, \dots, p_s$. Saya ingin memverifikasi batas berikut$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ Saya telah membaca hasil yang memberikan batas bawah untuk perbedaan antara suku yang berurutan $\{x_n\}$di dalam literatur. Hasil ini menyiratkan bahwa perbedaan antara suku berurutan divergen. Namun, dapatkah saya secara elementer menunjukkan bahwa batas di atas tidak terbatas?

Jawaban

2 TonyK Aug 16 2020 at 18:57

Jawaban dari Felipe Voloch di mathoverflow.net ini relevan:

Ya, benar bahwa jenis persamaan ax + by = c, di mana a, b, c bukan nol dan tetap dan x, y hanya boleh memiliki faktor prima dalam himpunan berhingga, hanya memiliki banyak solusi berhingga. Ini adalah kasus khusus dari teorema Siegel tentang titik integral pada kurva.

Memilih $a=1$ dan $b=-1$, yang seperti itu $x-y=c$ hanya memiliki banyak solusi untuk apa pun yang diberikan $c$. Oleh karena itu hanya ada banyak pasangan yang terbatas$x,y$ dengan $|x-y|<M$ untuk apa pun $M$.

Sayangnya teorema Siegel sama sekali tidak dasar. Saya curiga tidak ada bukti dasar.