Selisih antara suku-suku berurutan dari barisan yang meningkat yang terdiri dari bilangan bulat positif yang terdiri dari banyak bilangan prima berhingga
Seandainya $\{x_n\}$ adalah urutan meningkat yang elemennya adalah bilangan bulat positif yang terdiri dari banyak bilangan prima hingga $p_1, \dots, p_s$. Saya ingin memverifikasi batas berikut$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ Saya telah membaca hasil yang memberikan batas bawah untuk perbedaan antara suku yang berurutan $\{x_n\}$di dalam literatur. Hasil ini menyiratkan bahwa perbedaan antara suku berurutan divergen. Namun, dapatkah saya secara elementer menunjukkan bahwa batas di atas tidak terbatas?
Jawaban
Jawaban dari Felipe Voloch di mathoverflow.net ini relevan:
Ya, benar bahwa jenis persamaan ax + by = c, di mana a, b, c bukan nol dan tetap dan x, y hanya boleh memiliki faktor prima dalam himpunan berhingga, hanya memiliki banyak solusi berhingga. Ini adalah kasus khusus dari teorema Siegel tentang titik integral pada kurva.
Memilih $a=1$ dan $b=-1$, yang seperti itu $x-y=c$ hanya memiliki banyak solusi untuk apa pun yang diberikan $c$. Oleh karena itu hanya ada banyak pasangan yang terbatas$x,y$ dengan $|x-y|<M$ untuk apa pun $M$.
Sayangnya teorema Siegel sama sekali tidak dasar. Saya curiga tidak ada bukti dasar.