serat dengan hanya satu titik isomorfik dengan spesifikasi suatu bidang

Question

Membiarkan $R$ dan $T$menjadi cincin komutatif dengan kesatuan. Membiarkan$Q$ menjadi cita-cita utama $R$ dan $\phi:R \to T$. Seharusnya $T \otimes_R (R_Q/Q R_Q)$hanya memiliki satu cita-cita utama. Kemudian saya ingin membuktikan bahwa peta vertikal di sisi kiri \ begin {array} {cc} T \ otimes_R R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & T \\ \ uparrow & & \ uparrow \\ R_Q / Q R_Q & \ leftarrow & R \ end {array}
adalah isomorfisme. Bagaimana saya bisa membuktikan ini?

Saya pikir saya bisa membuktikan ini dengan menunjukkan yang diberikan $t \otimes r$, kita punya $t \otimes r = 1 \otimes s$ untuk beberapa $s \in R_Q/Q R_Q$, tetapi ini tampaknya hanya berfungsi jika $t$ adalah dalam gambar $\phi$...

Edit. Pertanyaan seperti yang ditanyakan sepertinya tidak benar, seperti yang bisa dilihat di komentar. Asumsi apa yang dapat saya tambahkan untuk membuat ini benar? Saya mencoba memahami detail bukti di Mumford tentang serat$f$ lebih $y$ adalah $\operatorname{Spec} \kappa(y)$ diberikan $f^{\#}(\mathfrak{m}_y) O_{X,x} = \mathfrak{m}_x$. Terima kasih

Answer 1

Lemma: Biarkan $f:X\rightarrow Y$menjadi morfisme skema. Kemudian$f^{-1}(p) \cong X\times_{Y} \kappa(p)$ sebagai set di mana $\kappa (p)$ adalah bidang residu di $p\in Y$.

Bukti: Asumsikan $X=\operatorname{Spec}A,Y=\operatorname{Spec}B$ adalah affine dan $p\in \operatorname{Spec} B$. Set$S=B\backslash p$. Kemudian kami memiliki 1-1 korespondensi berikut $$f^{-1}(p)\leftrightarrow\{P\in \operatorname{Spec}A : P\cap B=p \}\leftrightarrow \{P \in \operatorname {Spec}A : P\supseteq pA \ , \ P \cap {B\backslash p}=\phi \} $$ $$\leftrightarrow \operatorname {Spec} \frac{S^{-1}A}{pS^{-1}A} \cong \operatorname {Spec} A\otimes_ B \frac{B_p }{pB_p}=X\times_Y \operatorname {Spec}\kappa(p) $$

Sekarang Anda menggunakan argumen patching untuk melengkapi buktinya.

Jadi, Anda bertanya kapan $\frac{A_p }{pA_p}$ adalah asumsi lapangan $\operatorname {Spec} \frac{A_p}{pA_p}$adalah seorang lajang. Membiarkan$P\in \operatorname {Spec} {A}$ jadilah ideal prima unik sedemikian rupa $P\cap B\backslash p =\phi $ dan $P\supset pA$. Kemudian$\frac{A_p }{pA_p}$ adalah bidang iff $pA_p =PA_p$, yaitu cita-cita maksimal $\mathcal O_{Y,p}$ menghasilkan cita-cita maksimal $\mathcal O_{X,P}$ persis seperti yang diberikan dalam pertanyaan yang Anda tautkan.