Setidaknya satu subkelompok siklik yang terdefinisi dengan baik dari $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, untuk prime $p$.

Question

Pertimbangkan bilangan bulat dari formulir

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

Kumpulan kelas residu yang sesuai $\{[pq + 1]\}$ membentuk kelompok urutan siklik $p$ dengan generator $[p + 1]$.

Contoh: Jika $p = 11$ kemudian $12$ menghasilkan subkelompok siklik pesanan $11$ di $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

Saya memiliki bukti langsung di atas menggunakan teori divisi (representasi) Euclidean, tetapi akan tertarik untuk melihat bukti lain (atau tautan / referensi). Juga, tautan wikipedia

$\quad$ Kelompok perkalian bilangan bulat modulo $n$

negara bagian

... meskipun untuk prime $n$ tidak ada rumus umum untuk menemukan generator yang diketahui.

Jadi saya juga tertarik dengan kemajuan parsial yang dibuat di bidang ini, menentukan urutan elemen di dalamnya ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Answer 1

Di sini kita 'membentuk pola' kelompok siklik yang lebih besar $K_{2p}$ dihasilkan oleh $[p-1]$ di $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ untuk $p \ge 5$.

Grup $K_{2p}$ memiliki $2p$ elemen.

Set $k = p-1$, bilangan bulat genap.

Tentukan daftar nomor dengan memulai dari $p-1$ dan bertambah $2p$ sementara tetap di bawah $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

Sekarang tambahkan $p$ ke setiap nomor untuk membuat daftar kedua,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

Itu $\text{[.]}_{\, p^2}$ residu dari himpunan angka dalam $G_1 \cup G_2$ adalah persis $k$ generator untuk $K_{2p}$ memiliki pesanan $2p$.

Melanjutkan, kami akan menentukan daftar nomor lain dengan memulai dari $p+1$ dan bertambah $2p$
(setara, tambahkan $2$ ke setiap nomor dalam $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

Sekarang tambahkan $p$ ke setiap nomor untuk membuat daftar kedua,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

Itu $\text{[.]}_{\, p^2}$ residu dari himpunan angka dalam $H_1 \cup H_2$ adalah persis $k$ elemen di $K_{2p}$ memiliki pesanan $p$.

Sejak $2p - 2k = 2$ ada dua elemen yang masih harus dipertanggungjawabkan $K_{2p}$. Tapi itu adalah dua elemen$\{[1],[p^2-1]\}$ memuaskan $x^2 = 1$.

---

Contoh: Untuk $p = 11$ tentukan subkelompok yang tepat $K_{22}$ dari $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.

Unsur keteraturan $22$ terdiri dari

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

Unsur keteraturan $11$ terdiri dari

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

Unsur keteraturan $2$ terdiri dari

$\quad [120]$

Unsur keteraturan $1$ terdiri dari

$\quad [1]$