Skema mana yang merupakan pembagi dari suatu varietas abelian?

Question

Membiarkan $X$ menjadi skema iredusible proyektif halus di atas bidang aljabar tertutup $k$. Saya mencoba untuk memahami saat ada varietas abelian$A$ seperti yang $X$ isomorfik ke pembagi prima di $A$.

Ada beberapa kasus sederhana, tentunya. Jika$X$ berdimensi nol, yaitu sebuah titik, maka isomorfik terhadap identitas kurva eliptik mana pun $E$ lebih $k$, maka itu adalah pembagi dari $E$. Jika$X$ adalah dari genus $1$, maka jika kita memilih a $k$-poin, lalu $X$adalah kurva elips. Kemudian$X$ isomorfik ke diagonal $\Delta\subset X\times X$, yang merupakan pembagi. Sejak$X$ adalah kurva elips, $X\times X$juga merupakan varietas abelian. Jika$X$ adalah kurva genus $2$, lalu Jacobian dari $X$ adalah 2 dimensi, dan karenanya $X$ adalah codimension satu dan dengan demikian embedding $X\rightarrow \text{Jac}(X)$ mari kita identifikasi $X$ dengan pembagi dari $\text{Jac}(X)$.

Namun, kasus sederhana ini tidak memberi saya gambaran untuk kasus umum. The Jacobian hanya bekerja untuk genus$2$case dll. Varietas Albanse juga tidak membantu, karena kodimensinya mungkin terlalu besar. Adakah contoh tandingan dari skema ireduksi proyektif yang halus pada bidang tertutup aljabar yang bukan merupakan pembagi varietas abelian?

Answer 1

Setiap kurva dari genus yang lebih besar dari dua, yang Jacobian $J$sederhana, akan dilakukan. Jika itu adalah pembagi di permukaan abelian$S$, maka akan ada perkiraan $J\to S$ dengan kernel dimensi positif, bertentangan dengan kesederhanaan $J$. Kebanyakan kurva genus yang lebih besar dari dua memiliki sifat ini; contoh yang dipilih secara acak adalah$y^3 = x^4 - x$.

Answer 2

Kelas contoh tandingan yang jelas adalah varietas yang tidak beraturan. Faktanya, varietas abelian tidak mengandung kurva rasional.

Secara lebih umum, dan untuk alasan yang sama, jika $X$ adalah sembarang ragam aljabar yang berisi kurva rasional (kemungkinan tunggal) $X$ bukan merupakan subvarietas dari suatu varietas abelian, khususnya bukan merupakan pembagi di sana.

Answer 3

Berikut jawaban lain menggunakan bahasa Albania yang rasanya sedikit berbeda. Membiarkan$X$ menjadi $n$-dimensi dan anggaplah itu $h^0(X,\Omega^1_X)<n$. Lalu peta apapun$X\rightarrow A$ dimana $A$ adalah berbagai faktor abelian melalui bahasa Albania, yang ukurannya kurang dari $n$, jadi $X$tidak bisa menjadi pembagi pada varietas abelian manapun. Jadi sebagai contoh, Anda dapat mengambil variasi yang terhubung secara sederhana. Tentu saja,$\mathbb{P}^1$ berhasil.

Answer 4

Saya hanya ingin menunjukkan bahwa "adjunction + translation" memberi tahu kita sedikit:

Membiarkan $A$ jadilah varietas abelian, katakanlah dimensi $n>1$ dan biarkan $D \subset A$jadilah pembagi (katakanlah mulus). Sejak$\omega_A = \mathcal{O}_A$, rumus tambahan $$ \omega_D = \omega_A(D)|_D = \mathcal{O}(D)|_D, $$ bundel normal $D$. Dengan membedakan tindakan terjemahan$A$, kita bisa mendapatkan bagian global non-0 $0 \neq \sigma \in H^0(D,\omega_D)$, dalam hal ini kekuasaan $\sigma^d$ menunjukkan $H^0(D, \omega_D^d) \neq 0$ untuk semua $d>0$. Ini menunjukkan itu$D$ memiliki dimensi Kodaira non-negatif: $\kappa(D) \geq 0$.

Keterangan : sudah diketahui itu$D$ tidak beraturan $\implies$ $H^0(D, \omega_D^d)=0$ untuk semua $d > 0$ (dan kebalikannya adalah dugaan), jadi di atas kurang lebih merupakan elaborasi dari pengamatan Polizzi bahwa $D$ tidak bisa tidak diatur.