Solusi khusus dari persamaan diferensial parsial

Question

Butuh bantuan untuk menyelesaikan ini.

Temukan solusi khusus dari persamaan diferensial $$u_y = (5x + 2)u$$ yang memenuhi data $u(x, x^2) = x^3$.

Saya biasanya mencoba mencari persamaan karakteristik tetapi saya hanya bisa melihat $u_y$ sini.

Answer 1

Kami memperlakukannya sebagai ODE, menggunakan faktor integral yang sesuai: $$ u_y(x,y)=(5x+2)u(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y} u_y(x,y)-\mathrm{e}^{-(5x+2)y}(5x+2)u(x,y)=0 \\ \quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)=f(x) $$ untuk beberapa fungsi $f(x)$ untuk ditemukan.

Karenanya $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x). $$ Sekarang, $u(x,x^2)=x^3$, menyediakan itu $$ x^3=u(x,x^2)=\mathrm{e}^{(5x+2)x^2}f(x) $$ dan karenanya $$ f(x)=\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3 $$ Sama sekali $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3= \mathrm{e}^{(5x+2)(y-x^2)}x^3. $$