Solusi numerik untuk pelebaran waktu gravitasi relatif dari medan gravitasi dipolar terinduksi

Aug 17 2020

Dalam gravitoelectromagnetism , sebuah pendekatan untuk relativitas umum dalam batas bidang lemah, persamaan Einstein menyederhanakan ke dalam bentuk yang sangat mirip dengan persamaan Maxwell. Dalam bidang ini, medan gravitasi tradisional disebut sebagai medan "gravitoelektrik", dan dengan mengubahnya dapat menginduksi ekuivalennya dengan medan magnet, medan gravitasi. Sebaliknya, medan magnetomagnetik yang berubah dapat menyebabkan medan gravitasi listrik.

Yang penting, medan gravitasi yang diinduksi oleh medan gravitasi bisa dipolar , dengan kutub atraktif dan tolak. Dengan semua itu dalam pikiran, dan dengan syarat bahwa karena medan ini nonkonservatif (garis medan dari medan gravitasi induksi membentuk loop tertutup seperti medan listrik yang diinduksi) dan dengan demikian argumen umum mengenai potensial Newtonian tidak dapat diterapkan:

Berapa dilatasi waktu gravitasi relatif pengamat yang ditempatkan secara vertikal 1 meter (di sisi tolakan) dari titik pusat torus yang menghasilkan medan gravitasi dipolar 100g relatif terhadap pengamat yang jauh? Secara khusus, karena medannya menjijikkan, apakah itu akan menyebabkan jam pengamat yang terletak dekat dengan torus berdetak lebih cepat relatif terhadap pengamat yang jauh?

Jawaban

1 Laff70 Aug 20 2020 at 08:10

Dengan asumsi bahwa kita bekerja di bawah pendekatan medan lemah, potensial gravitasi harus berbentuk: $$P=\frac{n\cos(\theta)}{r^2}$$ Bidang di sepanjang sumbu vertikal adalah: $$g=\frac{2n}{r^3}$$ Untuk mencari nilai n, kita menggunakan fakta bahwa g = 100 pada r = 1. $$n=\frac{gr^3}{2}=\frac{100\cdot1^3}{2}=50$$ Pelebaran waktu gravitasi bergantung pada potensial gravitasi. $$t_d=e^{\frac{P}{c^2}}=e^{\frac{n\cos(\theta)}{c^2r^2}}=e^{\frac{50\cos(\theta)}{c^2r^2}}$$ Sekarang untuk menemukan laju di mana waktu berlalu pada titik tersebut $$t_d=e^{\frac{50\cos(0)}{c^2\cdot1^2}}=e^{\frac{50}{c^2}}=e^{\frac{50}{299792458^2}}=e^{5.5632503\cdot10^{-16}}=1.0000000000000005563250280268093708358133869390635833174567871473...$$Seperti yang Anda lihat, waktu berlalu sedikit lebih cepat pada titik ini daripada titik yang sangat jauh. Mengingat potensi yang ada$50\frac{m^2}{s^2}$, Menurut saya pendekatan bidang lemah valid di sini.