Status ordinal tak terbatas pertama $\omega$ dalam analisis non-standar?
Dengan waktu luang yang baru ditemukan selama pandemi, saya telah mempelajari analisis non-standar. Saya tidak terlalu menyukai ultrafilter, jadi saya tertarik pada teori himpunan internal Nelson dan teori himpunan Hrbacek. Meskipun saya lebih suka yang terakhir, saya memiliki lebih banyak pengalaman dengan pekerjaan Nelson, jadi saya akan mengungkapkan berbagai hal dalam istilah IST.
Saya memiliki pengetahuan dasar tentang bilangan ordinal dalam teori himpunan, yang darinya $\omega$adalah yang pertama. Saya ingin tahu di mana set cocok dengan IST. Apakah ini hanya angka hyperfinite standar? Secara intuitif, fakta itu$\omega > n$ untuk setiap bilangan asli $n$, menyebabkan saya berasumsi bahwa $\omega$ bisa menjadi anggota ${}^*\mathbb{N}$, karena ini adalah properti penentu dari bilangan asli ini. Saya menemukan sebuah makalah ( Taras Kudryk et al., 2004 ) yang menyebutkan bilangan bulat hyperfinite standar yang membuktikan dalam Proposisinya 2.1 bahwa:
Ada $\mathbf{standard}$ R-tak terbatas [yaitu dalam ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] angka hipernatural.
Seperti yang saya pahami, setiap set yang didefinisikan secara unik di ZFC tanpa mengacu pada predikat standar adalah standar. Oleh karena itu, ordinal transfinite pertama$\omega$adalah satu set standar. Dengan ini, saya berharap bisa membuktikannya$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. Namun, pada saat yang sama, saya ingat bahwa tidak ada bilangan asli yang sangat terbatas. Ini sepertinya bertentangan dengan fakta itu$\omega$ adalah nomor urut terkecil.
Pada titik ini, kurangnya pengalaman saya dengan teori himpunan mungkin terlihat. Melihat pertanyaan yang membahas perbedaan antara$\omega$ dan $\mathbb{N}$membuat saya menyadari bahwa saya mungkin berada di atas kepalaku di sini. Dapatkah saya meminta klarifikasi dari mereka yang lebih berpengalaman dengan teori himpunan dan ekstensi non-standarnya? Dimana$\omega$ (dan benarkah nomor urut secara umum) cocok dengan IST?
Jawaban
Ordinal von Neumann transfinite terkecil $\omega$ dan elemen ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$adalah jenis objek yang berbeda sama sekali. Meminta "tidak$\omega$ milik set ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$? "tidak masuk akal, dengan cara yang sama bertanya" apakah kelompok $S_3$ berisi set $\mathbb{R}$ sebagai elemen? "tidak masuk akal.
Saya dapat mengatur situasi di mana jawaban untuk pertanyaan terakhir secara teknis adalah ya. Misal dengan mendefinisikan grup$S_3$ sebagai kelompok dengan set yang mendasari $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ dan dengan tabel perkalian
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
kami tidak hanya itu $\mathbb{R} \in S_3$, tapi juga itu $\mathbb{R}$ adalah elemen identitas $S_3$. Ini tentu saja merupakan teknis yang tidak berarti, dan tidak boleh disalahartikan sebagai hubungan matematis antara kelompok$S_3$ dan bilangan real $\mathbb{R}$.
Tergantung pada konstruksi ekstensi Anda ${}^*\mathbb{N}$, Anda juga bisa mengaturnya $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ tahan, tetapi itu tidak mengajarkan Anda apa pun tentang ordinal: Anda dapat mengatur misalnya $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ dengan cara yang persis sama.
Dengan cara itu, apakah ada cara matematis alamiah di mana ordinal $\omega$sesuai dengan beberapa bilangan asli tidak standar tetap? Jawaban atas pertanyaan itu adalah tidak, dan tetap tidak meskipun kita mengganti "bilangan asli bukan standar tetap" dengan "elemen standar tetap dari${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ dimana ${}^*\mathbb{N}$ menunjukkan beberapa hiperekstensi standar $\mathbb{N}$"(pada kenyataannya, saya menyarankan untuk menghindari gagasan campuran IST dan Robinsonian NSA sampai Anda menjadi lebih nyaman dengan kedua formalisme tersebut).
Hal yang sama berlaku untuk pertanyaan implisit Anda tentang mendapatkan bilangan nonstandar "konkret": Anda tidak akan dapat menentukan bilangan nonstandar konkret menggunakan aksioma IST. Satu-satunya cara untuk membangun bilangan nonstandar adalah melalui Idealisasi (jika Anda menghilangkan aksioma Idealisasi dari IST, ini konsisten dengan sistem yang dihasilkan bahwa semua objek adalah standar), dan seseorang dapat membangun model IST di mana setiap spesifikasi dengan Idealisasi (pada dasarnya setiap non- terisolasi 1-type) direalisasikan oleh setidaknya dua elemen model yang berbeda.