Struktur Jumlah Kolom Matriks Orthonormal Nyata
Misalkan saya memiliki matriks orthonormal persegi nyata $A \in O(D)$. Saya ingin memahami struktur apa yang ada dalam kumpulan jumlah kolom$A$.
Contohnya, $O(2)$dapat diparameterisasi dengan satu skalar. Untuk mengetahui alasannya, pertimbangkan$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. Karena kolom pertama harus memiliki norma satuan,$c = \sqrt{1 - a^2}$. Karena kolom kedua harus ortogonal dengan kolom pertama dan juga harus memiliki norma satuan,$b = -c$ dan $d = a$. Karena itu,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ dan jumlah kolomnya adalah $a + \sqrt{1 - a^2}$ dan $a - \sqrt{1 - a^2}$. Ketika saya memplot jumlah kolom sebagai fungsi dari$a$, Saya mengamati kurva yang bagus ini:

Pertanyaan saya adalah: bagaimana struktur ini digeneralisasikan $O(D)$? Apakah beberapa kuantitas disimpan? Jika saya memesan jumlah kolom dalam urutan menurun, apakah ada hubungan di antara mereka?
Mungkin yang saya suka adalah beberapa teorema yang menyatakan "jika jumlah kolom sebelumnya adalah $A, B, C,...$ maka jumlah kolom berikutnya adalah sama dengan $Z$ / dibatasi antara $[-X, Y]$"
Jawaban
Mengetahui bahwa himpunan dari semua kemungkinan kolom-jumlah-vektor adalah sebuah bola pada dasarnya menjawab semua kemungkinan pertanyaan yang ingin Anda tanyakan tentang vektor tersebut. Secara khusus, kami memiliki:
Membiarkan $S(n)$ menjadi himpunan kolom-jumlah-vektor dari matriks ortogonal di $O(n)$. Kemudian$S(n)$ sama dengan bola jari-jari $\sqrt n$ berpusat pada asalnya.
Dari komentar:
dapatkah saya mengatakan sesuatu lebih dari itu? Karena vektornya ortonormal, hal ini menunjukkan bahwa penetapan satu (atau beberapa) sangat membatasi titik yang tersisa pada bola yang dapat dipilih.
Membawa hipotesis bahwa vektor adalah ortonormal tidak mungkin memberi Anda hasil yang lebih kuat, karena hipotesis tersebut tertanam dalam teorema bahwa himpunan semua vektor-kolom-kolom adalah sebuah bola. Jadi ya, memperbaiki satu atau beberapa koordinat membatasi yang lain - tetapi membatasi mereka hanya dan tepatnya mereka harus dipilih sehingga titik yang dihasilkan berakhir pada sebuah bola. Tidak ada gunanya mencoba mendapatkan batasan lebih lanjut, karena hasilnya adalah itu$S(n)$adalah sama dengan bola - bukan bagian dari itu, dan tidak superset dari itu, tapi sama. Oleh karena itu, batasannya seketat yang didapat.
Sebagai contoh:
Anda dapat membuat parameter $S(n)$, menggunakan parameterisasi standar apa pun dari sebuah bola .
Ya, jika Anda perbaiki dulu $k$koordinat, ini membatasi koordinat yang tersisa karena seluruh vektor harus berakhir pada sebuah bola. Secara khusus, koordinat yang tersisa$a_{k+1}, ..., a_n$ harus dipilih agar $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ Dengan kata lain, jika $r^2=a_1^2+...+a_k^2$, koordinat yang tersisa harus dipilih dari bidang radius $\sqrt{n-r^2}$ di $(n-k)$ruang -dimensi.