$\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$
Tunjukkan bahwa cukup kecil $y$ kita punya $\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$ dimana $m\geq 3$ mewakili semua bilangan bulat positif dari $3$ seterusnya, sementara $p\geq 3$ mewakili semua bilangan prima ganjil.
Saya berpikir untuk memisahkan menurut paritas $m$ dan sisanya $p$ mod $4$dan kemudian menggunakan penjumlahan parsial dan teorema bilangan prima. Namun, bagian dengan$m$ bahkan
$$ \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\sum_{p>2} e^{-p^my}\log p = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\int_0^{\infty}\left[\sum_{2<p\leq t} \log p\right](myt^{m-1}e^{-t^my})dt \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}m\int_0^{\infty}yt^{m}e^{-t^my}dt \\ = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\Gamma\bigg(1+\frac{1}{m}\bigg)y^{-\frac{1}{m}} \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}y^{-\frac{1}{m}}$$ dan sayangnya yang terakhir tidak $O(y^{-1/3})$(ketika saya menyambungkan rasio ke Wolfram Alpha, itu memberi saya bahwa itu menyimpang). Aneh$m$ paling tidak menyenangkan bahwa Anda dapat membatalkan hal-hal dari suku-suku utama yang muncul dari teorema bilangan prima untuk perkembangan aritmatika dan mungkin berfungsi dengan baik.
Ide bagaimana memperbaiki pendekatan? Setiap bantuan dihargai!
Jawaban
Jumlahkan $m$pertama. Sejak$p^k \geqslant 1 + k(p-1)$ untuk semua $k \in \mathbb{N}$ oleh ketidaksetaraan Bernoulli yang kita miliki $$\sum_{m = 3}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant \sum_{k = 0}^{\infty} e^{-p^3y - k(p-1)p^3y} = \frac{e^{-p^3y}}{1 - e^{-(p-1)p^3 y}} \tag{1}$$ untuk semua $y > 0$ dan semua $p > 1$.
Jika kita simpan $y$ jauh dari $0$, penyebut dari sisi kanan $(1)$ dibatasi dari $0$ dan kami dapat memperkirakan secara brutal \begin{align} \sum_{p \geqslant 3} e^{-p^3y}\log p &= \int_0^{\infty} e^{-t^3y}\,d\vartheta_3(t) \\ &= \int_0^{\infty} 3t^2y\vartheta_3(t) e^{-t^3y}\,dt \\ &= \int_0^{\infty} y\vartheta_3(\sqrt[3]{u})e^{-uy}\,du \\ &\leqslant 2\int_0^{\infty} y u^{1/3}e^{-uy}\,du \\ &= 2\Gamma \biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3} \end{align} dimana $\vartheta_3(t)$ adalah jumlah dari logaritma bilangan prima ganjil $\leqslant t$ dan kami menggunakan perkiraan mudah $\vartheta_3(t) \leqslant \vartheta(t) \leqslant 2t$ untuk semua $t > 0$.
Namun, kami ingin memperkirakan hal-hal kecil $y$, jadi kami tidak bisa menyimpannya $y$ jauh dari $0$. Namun demikian, hal di atas juga berguna untuk itu. Pertama, jika$p \equiv 3 \pmod{4}$, maka kami memiliki jumlah bergantian, dan $$\Biggl\lvert \sum_{m = 3}^{\infty} (-1)^m e^{-p^my}\Biggr\rvert \leqslant e^{-p^3y}\,,$$ jadi kami memiliki perkiraan yang mirip dengan $(1)$ dengan penyebut dibatasi dari $0$ seragam $y$. Selanjutnya, jika [untuk$p \equiv 1 \pmod{4}$] di sisi kiri $(1)$ kita biarkan jumlahnya dimulai $m = r \geqslant 3$ dimana $p^{r+1} > \frac{1}{y}$ kami mendapatkan perkiraan $$\sum_{m = r}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant 2e^{-p^ry} \leqslant 2e^{-p^3y}\,.$$ Kami kemudian dapat memperkirakan seperti di atas dan memperoleh $$\Biggl\lvert \sum_{(p,m) \in A(y)} (-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p\Biggr\vert \leqslant 4\Gamma\biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3}\,,$$ dimana $$A(y) = \{(p,m) : p \equiv 3 \pmod{4} \text{ or } p^{m+1}y \geqslant 1\}\,.$$ Itu tetap untuk ditampilkan $$\sum_{\substack{p \equiv 1 \pmod{4} \\ m \geqslant 3 \\ p^{m+1}y < 1}} e^{-p^my}\log p \ll y^{-1/3} \tag{2}$$ untuk $y < 1/5$, katakanlah.
Untuk setiap tetap $m$ untuk dipertimbangkan dalam apa yang kita miliki $$\sum_{p^{m+1} < y^{-1}} e^{-p^my}\log p \leqslant \sum_{p < y^{-1/(m+1)}} \log p \leqslant 2\cdot y^{-1/(m+1)} \leqslant 2y^{-1/4}\,,$$ dan $5^{m+1} < y^{-1}$ menyiratkan $m+1 < \frac{\lvert \log y\rvert}{\log 5}$, dengan demikian jumlah di sisi kiri $(2)$ tidak lebih besar dari $$\frac{2}{\log 5}y^{-1/4}\log \frac{1}{y}$$ yang urutannya lebih kecil dari $y^{-1/3}$.