Temuan $E[X\mid Y]$ dan $\operatorname{Var}(X\mid Y)$ diberikan mean dan varians $X$ dan $Y$
Misalkan kita memiliki 2 distribusi normal $X$ dan $Y$ dengan kejam $u_1$ dan $u_2$ dan varians $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$; Temukan$E[X\mid Y]$ dan $\operatorname{Var}(X\mid Y)$.
aku tahu $$E[X\mid Y] = \mu_1 + \rho\sigma_1 \frac{Y - u_2}{\sigma_2} $$ dan $$\operatorname{Var}[X\mid Y] = \sigma_1 (1 - \rho^2)$$ tapi saya tidak bisa membuktikannya.
Untuk $E[X\mid Y]$ Saya mulai dengan $$E[X\mid Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X|Y}(x\mid y)\ dx$$ tapi itu tidak berhasil karena untuk kalkulasi $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ saya butuh $f_{X,Y}(x,y)$Saya tidak punya itu. Ada yang bisa bantu saya?
Jawaban
Pendekatan kepadatan akan berhasil. Dalam kasus yang paling sederhana, asumsikan itu$X$ dan $Y$masing-masing standar normal, dengan korelasi$\rho$, sehingga kepadatan sambungan$(X,Y)$ aku s $$ f(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\exp \left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x^2-2\rho xy+y^2)\right] $$ sedangkan kepadatan marjinal $Y$ aku s $$f(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\left(\frac{y^2}2\right)\right]. $$ Kepadatan bersyarat $\displaystyle f(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}$adalah rasio ini. Jadi tergantung$Y=y$, kepadatan $X$ aku s $$\begin{align} f(x\mid y)&=\frac1{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x^2-2\rho xy+y^2-(1-\rho^2)y^2)\right]\\ &= \frac1{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left[-\frac1{2(1-\rho^2)}(x-\rho y)^2\right]\end{align} $$ yang kita kenali sebagai kepadatan variabel acak normal dengan mean $\rho y$ dan varians $1-\rho^2$. Ini mengikuti itu$$ E(X\mid Y=y) = \rho y\qquad{\rm and}\qquad \operatorname{Var}(X\mid Y=y)=1-\rho^2.$$
Untuk kasus umum, tulis $\displaystyle X':=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$ dan $\displaystyle Y':=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}$. Terapkan kasus sebelumnya ke$X'$ dan $Y'$, dan menyimpulkan $$\begin{aligned} E\left (X\mid Y=y\right)&=E\left(\mu_1+\sigma_1 X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)=\mu_1+\sigma_1 E\left(X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)\\ &=\mu_1+\sigma_1\rho\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right) =\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2) \end{aligned} $$ dan $$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X\mid Y=y)&=\operatorname{Var}\left(\mu_1+\sigma_1 X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right) =\sigma_1^2\operatorname{Var}\left( X'\biggm| Y'=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)\\ &=\sigma_1^2(1-\rho^2).\end{aligned} $$
Mari kita terima begitu saja $$\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} = \rho \frac{Y-\mu_2}{\sigma_2} + \sqrt{1-\rho^2} Z \tag{$*$}$$ dimana $Z \sim N(0,1)$ tidak tergantung $Y$. Lihat akhir jawaban saya untuk penjelasan.
Kemudian \begin{align} E[X \mid Y] &= \mu_1 + \sigma_1 E[(X-\mu_1)/\sigma_1 \mid Y] \\ &= \mu_1 + \sigma_1 \left( E[\rho (Y-\mu_2)/\sigma_2 \mid Y] + E[\sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y] \right) \\ &= \mu_1 + \sigma_1 (\rho(Y - \mu_2) / \sigma_2) + \sqrt{1-\rho^2} E[Z] \\ &= \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2} (Y-\mu_2). \end{align} Perhatikan bahwa Ottavio Bartenor memperbaiki kesalahan ketik pada ekspresi asli Anda untuk $E[X\mid Y]$.
Demikian pula, \begin{align} \text{Var}(X \mid Y) &= \sigma_1^2 \text{Var}((X-\mu_1)/\sigma_1 \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 \text{Var}(\rho(Y-\mu_2)/\sigma_2 + \sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 \text{Var}(\sqrt{1-\rho^2} Z \mid Y) \\ &= \sigma_1^2 (1-\rho^2) \text{Var}(Z) \\ &= \sigma_1^2(1-\rho^2). \end{align} Perhatikan bahwa ekspresi dalam postingan Anda salah ketik.
Seharusnya $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ dan $Z \sim N(0,1)$mandiri. Membiarkan$X$ memenuhi persamaan di atas ($*$). Klaimnya adalah itu$(X,Y)$ mengikuti distribusi normal bivariat dengan parameter $\mu_1, \sigma_1, \mu_2 ,\sigma_2, \rho$.
Anda bisa memeriksanya $X$ memiliki maksud $\mu_1$ dan varians $\sigma_1^2$. Anda juga dapat memeriksa korelasi antara$X$ dan $Y$ aku s $\rho$. Anda juga dapat memeriksa bahwa distribusi marjinal$X$normal, karena merupakan kombinasi linier dari variabel acak normal independen . Akhirnya, untuk membenarkan itu$(X,Y)$bersama-sama (bivariat) normal, Anda dapat mengajukan banding ke karakterisasi ekuivalen dari distribusi normal bersama dengan mencatat bahwa setiap kombinasi linier dari$X$ dan $Y$ normal karena dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari variabel acak normal independen $Y$ dan $Z$