Temukan maksimum / minimum global di atas area persegi panjang
Temukan semua titik maksimum / minimum global dari fungsi ini:
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
Dalam persegi panjang dengan simpul:
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
Saya mencoba menggambar persegi panjang ini, dan saya mendapatkannya:
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
Saya menghitung turunan parsial:
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
Jadi saya mengerti bahwa satu-satunya poin adalah $(3,4)$
Mana yang tidak dalam persegi panjang ... jadi tidak ada titik maks / menit global? Saya merasa ini adalah pendekatan yang salah, saya sangat menghargai bantuan Anda!
Terima kasih!
Jawaban
Menemukan titik di mana $f_x = 0$ dan $f_y = 0$memberi Anda semua ekstrema lokal di pedalaman kawasan$[-2, 3] \times [-1, 1]$, yaitu persegi panjang terbuka $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Apa yang Anda tunjukkan adalah tidak ada ekstrema lokal di interior. Namun, mungkin masih ada maksima / minima pada batas persegi panjang. (Faktanya, karena$[-2, 3] \times [-1, 1]$ kompak, analisis memberi tahu kita bahwa kita dapat menemukan maksimum dan minimum global.)
Untuk menemukan maxima dan minima global ini, Anda perlu melihat nilai-nilai apa $f$ mengambil batas persegi panjang $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Kapan terkecil / terbesar?
Misalnya, pertama-tama kita akan melihat tepi bawah persegi panjang. Ini adalah kumpulan poin$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. Di wilayah ini fungsi kami$f$ mengambil nilai-nilai
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
sejak $y$ selalu $-1$di tepi bawah persegi panjang. Dari sini, Anda dapat menggunakan kalkulus variabel tunggal untuk menghitung nilai$x$ di $[-2, 3]$ untuk itu $f$ minimal / maksimal.
Kemudian, lakukan hal yang sama untuk sisi lainnya.
(Sunting: sama seperti Anda harus memeriksa tepi persegi panjang selain bagian dalamnya, Anda harus memeriksa "tepi" dari sisi-sisinya (yaitu empat sudut) selain sisinya! Dengan kata lain, jangan ' t lupa apakah akan menghitung f di masing-masing dari empat penjuru dan melihat apakah ini memberikan titik ekstrem.)
Fakta bahwa titik yang Anda temukan tidak berada di dalam persegi panjang berarti, jika dilihat dari fungsi keseluruhan, titik maksimum / minimum tidak ada di dalam persegi panjang. Namun, kita hanya melihat sebagian kecil dari fungsi tersebut - yang dibatasi oleh persegi panjang.
Jika Anda dapat membayangkan grafik fungsi apa pun yang dibatasi oleh persegi panjang itu, Anda akan melihat bahwa itu pasti memiliki maksimum dan minimum di suatu tempat di perbatasan. Dalam kalkulus variabel tunggal, hal ini dijelaskan dengan teorema nilai ekstrim.
Jadi, Anda harus mencari titik maksimum dan minimum dari empat garis yang dihasilkan dari perpotongan fungsi dan bidang y = 1, y = -1, x = -2, dan x = 3. Bidang-bidang ini merupakan perpanjangan dari sisi persegi panjang.
Jika Anda memiliki pertanyaan lain, saya akan membantu dengan senang hati.
Anda berada dalam kasus klasik di mana ekstrema terletak di perbatasan, oleh karena itu, memang tidak ada gunanya memusnahkan turunan parsial.
Pikirkan geometris: masalah Anda berkaitan dengan perpotongan parabola $P$ yang puncaknya masuk $(3,4,100)$ dan sumbu ditentukan oleh $x=3,y=4$ dan sebuah kotak $B$ yang persimpangannya dengan bidang Oxy adalah yang Anda temukan.
Keterangan: Persimpangan $I=B \cap P$ adalah penyatuan busur parabola.
Titik terendah I akan berada di sepanjang sumbu vertikal $(x=3, y=1)$(yang paling dekat dengan sumbu P). Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan untuk mendapatkan$z_{min}=109$.
Titik tertinggi I akan diperoleh pada tepi vertikal kotak yang terjauh dari sumbu P, yaitu dengan koordinat $(x=-2,y=-1)$. Sekali lagi, masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan untuk mendapatkan$z_{max}=150$.