Temukan rumus untuk transformasi linier [tertutup]

Aug 17 2020

Temukan contoh rumus transformasi linier $\varphi$ yang seperti itu:

$$\ker\varphi = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\},$$ $$\operatorname{im}\varphi = \operatorname{span}((2,3,1))$$

Bagaimana cara mendekati masalah seperti itu? Cara paling standar untuk dihargai.

Jawaban

2 ilovebulbasaur Aug 17 2020 at 02:04

$\varphi$ adalah transformasi linier $\mathbb{R}^4\rightarrow\mathbb{R}^3$, jadi matriksnya $A$ mewakili $\varphi$ (sehubungan dengan dasar standar) adalah $3$ oleh $4$. Sekarang, jika$$\ker\varphi=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:x-y+6z+2t=0\}$$ lalu semua yang ada di kernel $A$ bersifat ortogonal $(1,-1,6,2)$, jadi mari kita atur $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ ?&?&?&?\\?&?&?&?\end{bmatrix}.$$Kami belum selesai, karena kami belum menentukan entri yang tersisa. Tapi ini tidak sulit, karena kita tahu$$\text{im}\varphi=\text{span}((2,3,1))$$ yang menyiratkan bahwa semua vektor kolom adalah kelipatan skalar $(2,3,1)$. Jadi misalnya, kolom pertama hanya$1/2$ waktu $(2,3,1)$, yang memberikan $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&?&?&?\\1/2&?&?&?\end{bmatrix}.$$ Melanjutkan logika ini, kita dapat mengisi tiga kolom terakhir dengan cara yang sama, memberi kita $$A=\begin{bmatrix}1&-1&6&2\\ 3/2&-3/2&9&3\\1/2&-1/2&3&1\end{bmatrix}.$$ Sekarang kita sudah selesai.

1 azif00 Aug 17 2020 at 01:55

Perhatikan itu $\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x-y+6z+2t=0\}$ adalah himpunan semua vektor bentuk $$(y-6z-2t,y,z,t) = y(1,1,0,0) + z(-6,0,1,0) + t(-2,0,0,1)$$ dimana $y,z$ dan $t$berjalan di atas semua bilangan real. Jadi, pilih peta linier$\varphi : \mathbb R^4 \to \mathbb R^3$ seperti yang $$\varphi(1,1,0,0) = \varphi(-6,0,1,0) = \varphi(-2,0,0,1) = 0$$ dan $\varphi(v) = (2,3,1)$ untuk beberapa $v \in \mathbb R^4$ yang tidak dalam rentang $$\{(1,1,0,0),(-6,0,1,0),(-2,0,0,1)\}.$$

ChrisCuster Aug 17 2020 at 02:03

Matriks berikut menjelaskan yang seperti itu: $\begin{pmatrix} 2&-2&12&4\\3&-3&18&6\\1&-1&6&2\end{pmatrix}$.