Temukan semua fungsi $f$ seperti yang $f(mn) = f(m)f(n)$ dan…

Question

Temukan semua fungsi $f : N → N$ seperti yang

(Sebuah) $f(2) = 2$

(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ untuk semua $m, n ∈ N$

(c) $f(m) < f(n)$ untuk $m < n$

Pertama, saya mengganti $m=1,n=2$ mendapatkan $f(1)=1$. Selanjutnya, kita dapat dengan mudah memperhatikan bahwa semua kekuatan$2$akan sama dengan diri mereka sendiri. Itu adalah$f(4)=4,f(8)=8$, dan seterusnya. Sekarang, langkah selanjutnya saya tidak yakin benar. Sebagai$f(4)>f(3)>f(2)$, dan $f : N → N$, Kupikir $f(3)$ hanya bisa $3$tapi sekali lagi saya tidak begitu yakin. Jika demikian, maka saya yakin satu-satunya fungsi yang mungkin adalah$f(x)=x$.

Sekarang untuk bagian selanjutnya dari masalah-

Apa yang terjadi jika kondisi ketiga tidak diberikan kepada kita?

Sayangnya saya bahkan tidak memiliki jawaban untuk masalah tersebut apalagi solusinya. Setiap petunjuk juga akan membantu, terima kasih.

Answer 1

Lebih mudah :

jika $f(1)=1$ dan $f(2^n)=2^n$, dan karena Anda punya $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

satu-satunya kemungkinan adalah itu $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ dan seterusnya.