Temukan semua grup terbatas $G$ st untuk apapun $a,b\in G$ antara $a$ adalah kekuatan $b$ atau $b$ adalah kekuatan $a$

Aug 19 2020

Temukan semua grup terbatas $G$ st untuk apapun $a,b\in G$ antara $a$ adalah kekuatan $b$ atau $b$ adalah kekuatan $a$

Saya pikir saya menunjukkan bahwa semua grup seperti itu $Z_{p^n}$ untuk $p$prime, apakah ini benar? Saya pertama kali menunjukkan bahwa grup harus siklik dengan mempertimbangkan elemen urutan terbesar$\langle a\rangle$ dan mencapai kontradiksi jika $\langle a\rangle\not= G$., dan kemudian jika $Z_n$ dengan $n$komposit maka tidak memiliki properti ini. karena ada dua subgrup siklik yang terputus-putus dari ordo coprime.

Apakah ini benar? Apakah semua kelompok merupakan kelompok seperti itu$Z_{p^n}$?

Jawaban

FiMePr Aug 19 2020 at 04:00

Ini benar. Nah, terlepas dari hal "subkelompok yang terputus-putus". Subkelompok itu "hampir terputus-putus", artinya, persimpangan mereka direduksi menjadi elemen identitas, tetapi mereka tidak dapat secara harfiah terputus-putus.

egreg Aug 19 2020 at 04:38

Ya, jika Anda mengambil $a$ dengan urutan maksimal dan, dengan kontradiksi, ada $b\notin\langle a\rangle$, kemudian $a=b^n$ untuk beberapa $n>1$, jadi $b$ memiliki pesanan lebih besar dari $a$.

Karena itu $G$ adalah siklik.

Sekarang kita dapat membuktikan bahwa urutan $G$ harus menjadi kekuatan utama: Anda tidak dapat mengecualikan "komposit" (slip kecil, tapi relevan).

Jika $|G|$ dapat dibagi oleh dua bilangan prima yang berbeda $p$ dan $q$, kemudian $G$ memiliki subgrup pesanan $p$ dan $q$, tetapi ini memiliki persimpangan yang sepele, sehingga grup tidak dapat memiliki properti yang dinyatakan.

Sekelompok ordo siklik $p^n$ ($p$ bilangan prima) memiliki properti yang disebutkan.