Tersemat secara kompak $L^p(0,1)$ tetapi bukan merupakan subruang dari $C^0[0,1]$

Question

Dengan teorema Rellich-Kondrachov, orang tahu bahwa embedding $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ kompak.

Di sisi lain, dengan ketidaksetaraan Sobolev, seseorang juga memilikinya $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (pada kenyataannya, bahkan $C^{0,\frac{1}{2}}$ dalam kasus satu dimensi ini, dengan menggunakan teorema dasar kalkulus dan beberapa argumen Cauchy-Schwartz).

Pertanyaan saya adalah apakah ada beberapa "subruang perantara" dalam pengertian berikut.

Yakni, apakah ada ruang Hilbert $H$ yang tertanam dengan kompak $L^p(0,1)$ untuk beberapa $p\geq 1$, dan yang bukan merupakan subruang dari $C^0[0,1]$?

Answer 1

Ya, ruang Hilbert seperti itu ada dan merupakan kasus khusus dari ruang Sobolev pecahan . Untuk$\alpha\in(0,1/2)$ kita punya $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ menurut definisi, dan satu dapat menunjukkan bahwa fungsi langkah yang $1$ di $(1/2,1)$ dan $0$ lain masuk $H^\alpha(0,1)$. Karena fungsi ini tidak berkelanjutan,$H^\alpha(0,1)$ tidak tertanam $C^0[0,1]$.

Lihat juga Bukti bahwa fungsi karakteristik dari set terbuka berbatas ada$H^{\alpha}$ iff $\alpha < \frac{1}{2}$dan ke dalam ruang Sobolev pecahan apa fungsi langkah tersebut? (Norma Sobolev-Slobodeckij fungsi langkah) untuk lebih jelasnya.

Diketahui juga itu $H^\alpha(0,1)$ menyematkan dengan kompak ke $L^2(0,1)$ untuk $\alpha\in (0,1/2)$. Ini mengikuti Teorema 7.1 dalam pdf ini .