Tunjukkan bahwa ada $x_0$seperti yang $p(x_0) < q(x_0)$untuk polinomial yang diberikan

Question

Jika$p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$dan$q(x) = x^2+px+q$menjadi dua polinomial dengan koefisien nyata. Misalkan ada interval$(r,s)$panjangnya lebih dari 2 sedemikian sehingga keduanya$p(x)$dan$q(x)$negatif untuk$x \in (r,s)$dan keduanya positif untuk$x<r$atau$x>s$. Tunjukkan bahwa ada$x_0$seperti yang$p(x_0) < q(x_0)$

Sejak$q(x)$adalah kuadrat, oleh karena itu$r$dan$s$harus menjadi akar.

tetapi,$r$dan$s$juga merupakan akar dari$p(x)$jadi,$q(x)$harus menjadi faktor dari$p(x)$, karena itu

$p(x) = q(x)g(x)$

Di mana$g(x)$juga merupakan kuadrat. Tapi itu sejauh yang saya bisa. Bagaimana melanjutkan dari sini? Bagaimana Anda memanfaatkan kondisi$s-r > 2$?

Bantuan apa pun akan dihargai.

Answer 1

$r$dan$s$adalah akar dari keduanya$p(x)$dan$q(x)$dan karena itu juga merupakan akar dari$p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$di mana$|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

Mari kita asumsikan$p(x) - q(x)$selalu non-negatif tetapi mengingat akarnya adalah$r$dan$s$, itu hanya mungkin jika$f(x)$negatif setiap kali$q(x)$adalah dan$f(x)$positif kapan saja$q(x)$adalah.

Itu berarti memiliki akar ganda di$r$dan$s$yaitu$p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

yaitu$p(x) - q(x) = q(x)^2$

yaitu$p(x) = q(x)(q(x)+1)$

yaitu$1+q(x) \gt 0$sebagai$p(x)$dan$q(x)$memiliki tanda yang sama sama sekali$x$.

yaitu$x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

Ini tidak mungkin benar karena diskriminannya$(r-s)^2 - 4 \gt 0$seperti yang diberikan dalam masalah. Jadi ada nilai x dimana$p(x) \lt q(x)$.

[Catatan: fungsi$ax^2+bx+c$memiliki dua akar real jika diskriminan$b^2-4ac \gt 0$]