Tunjukkan bahwa urutan fungsi yang bertemu secara seragam adalah terintegral Riemann. Bagaimana jika mereka hanya menyatukan titik?

Dec 10 2020

Membiarkan $f_n$ menjadi urutan fungsi terintegral Riemann di $[a,b]$yang menyatu secara seragam ke suatu fungsi f. Tunjukkan bahwa f juga terintegral Riemann. Apa yang terjadi jika$f_n$ hanya menyatu secara searah?

Mempertimbangkan pemandangan ini, tunjukkan itu

$$\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Tidak begitu yakin bagaimana memulai masalah ini. Jika mereka sudah konvergen ke suatu fungsi, secara seragam, fungsi itu harus kontinu kan? Jadi secara sederhana Riemann dapat diintegrasikan. Kasus pointwise saya tidak yakin. Dan kemudian bagian kedua dengan batasan saya tidak yakin bagaimana cara melakukannya. Setiap bantuan dihargai!

Jawaban

2 RRL Dec 11 2020 at 00:21

Kita bisa menggunakan kriteria Riemann untuk membuktikan bahwa batas seragam $f$ dari urutan fungsi terintegral Riemann $(f_n)_n$ juga terintegrasi Riemann.

Dengan konvergensi seragam, untuk semua $\epsilon > 0$, disana ada $N \in \mathbb{N}$ seperti itu untuk semua $n \geqslant N$ kita punya

$$-\frac{\epsilon}{3(b-a)} < f(x) - f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}$$

Membiarkan $P: a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$menjadi partisi. Sejak$f(x) = f(x) - f_n(x) + f_n(x),$ itu mengikuti bahwa pada setiap subinterval partisi $I$,

$$\sup_I f(x) \leqslant \sup_I(f(x) - f_n(x)) + \sup_I f_n(x) < \frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \sup_I f_n(x), \\ \inf_I f(x) \geqslant \inf_I(f(x) - f_n(x)) + \inf_I f_n(x) > -\frac{\epsilon}{3(b-a)}+ \inf_I f_n(x).$$

Jadi, $ \inf_I f_n(x)- \frac{\epsilon}{3(b-a)} <\inf_I f(x) \leqslant \sup_I f(x) < \sup_I f_n(x)+ \frac{\epsilon}{3(b-a)}. $

Menjumlahkan semua subinterval partisi yang kami dapatkan untuk jumlah Darboux atas dan bawah,

$$U(f,P) < \frac{\epsilon}{3} + U(f_n,P), \quad -L(f,P) < \frac{\epsilon}{3} - L(f_n,P),$$

dan karenanya,
$$U(f,P) - L(f,P) < \frac{2\epsilon}{3} + U(f_n,P) - L(f_n,P).$$

Sejak $f_n$ adalah Integrasi Riemann, ada partisi $P$ seperti yang $U(f_n,P) - L(f_n,P) < \epsilon/3$ dan mengikuti itu $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$ membuktikan itu $f$ adalah terintegrasi Riemann.

Sekarang anda harus dapat membuktikan sendiri bahwa limit deret integral merupakan integral dari fungsi limit dengan mempertimbangkan bahwa $|f_n(x) - f(x)| \to 0$ seragam untuk semua $x \in [a,b]$.

2 Bargabbiati Dec 10 2020 at 21:11

Membiarkan $\{q_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ menjadi bilangan rasional dalam interval $[0,1]$, dan mari kita pertimbangkan fungsinya $$f_n(x)= \begin{cases} 1 &\text{if}\quad x \in \{q_1, \ldots, q_n\},\\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases} $$

Itu $f_n(x)$ adalah Riemann-integrable tetapi mereka bertemu dengan fungsi Dirichlet, yang bukan Riemann-integrable.