Tunjukkan ekspektasi minimal martingale yang dihentikan tersebut $-\infty$
Pertimbangkan random walk martingale $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ dimana $X_k$ dibatasi secara seragam, iid dengan $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. Membiarkan$a>0$ dan set $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. Menunjukkan bahwa$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.
Saya sedang berpikir untuk mendefinisikan $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ dan menggunakan martingale $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. Kami kemudian akan mendapatkan (menggunakan MCT dan batasan dan$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. Ini menyiratkan$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. Saya tidak yakin bagaimana melanjutkan dari sini.
Jawaban
Bagaimana dengan ini?
Untuk apapun $N < \infty$, dengan teorema sampling opsional, kami punya $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. Dan$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ sebagai $N, k \to \infty$.
Begitu $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ berkumpul ke angka negatif sebagai $N,k \to \infty$.
Membiarkan $U = \min_n S_{n \wedge T}$. Sekarang$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. Jika$E(U) > -\infty$, kemudian $E(U I_{U < -k}) \to 0$ sebagai $k \to \infty$, yang merupakan kontradiksi.