Tunjukkan itu untuk $a_i>0$ dan $n \ge 2$ : $\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ [duplikat]

Question

Tunjukkan itu untuk $a_i>0$ dan $n \ge 2$ hal berikut berlaku: $$\prod_{i=1}^{n}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$

---

Saya tahu bahwa sisi kanan memang: $$\sum_{I \subseteq\left\{1,..,n\right\}}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i}$$ Yang dapat ditulis sebagai:

$$1+\sum_{ I \subseteq\left\{1,..,n\right\},\\\left|I\right|\ne0,1}^{}\prod_{i \in I}^{ }a_{i} +\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$ Yang dengan mudah mengikuti hasilnya. Juga seseorang dapat menggunakan induksi $n$: Kasus dasar benar sejak $$\prod_{i=1}^{2}\left(1+a_{i}\right)=1+a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}>1+a_{1}+a_{2}=1+\sum_{i=1}^{2}a_{i}$$

Asumsikan bahwa relasi tersebut berlaku $n$ dan mengalikan kedua sisi relasi dengan $(1+a_{n+1})$:

$$\prod_{i=1}^{n+1}\left(1+a_{i}\right)>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}+a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i}>1+\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$$

Menunjukkan bahwa klaim berlaku untuk semua $n \ge 2$.

Apakah yang saya lakukan benar dan apakah ada cara yang lebih baik?

Answer 1

Jika $a_k>0$, kemudian $$(1+a_1)(1+a_2)=1+a_1+a_2+a_1a_2 \implies (1+a_1)(1+a_2)>1+a_1+a_2$$ $$\implies (1+a_1)((1+a_2)(1+a_3)> (1+a_1+a_2)(1+a_3)>(1+a_1+a_2+a_3).$$ Demikian pula, terus lakukan ini berulang kali untuk mendapatkan $$(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)......(1+a_n) >1+a_1+a_2+a_3+.....+a_n.$$