Untuk menunjukkan bahwa integral $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ konvergen dan kurang atau sama dari $n^{3/2}\pi$ [duplikat]

Question

Pertimbangkan polinomial $p \in \mathbb{R}[x]$ derajat $n$dan tanpa akar yang nyata. Buktikan itu$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$konvergen, dan lebih kecil atau sama dari $n^{3/2}\pi$

Pendekatan saya

Sekarang biarkan $x_1, x_2, \dots, x_n$ menjadi akar dari $p$. Oleh Cauchy-Schwarz

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

Saya tidak tahu apa yang harus saya lakukan selanjutnya. Jika saya salah, berikan jawaban terperinci di bagian jawaban. Saya telah menunjukkan apa yang saya pikirkan atau apa yang telah saya lakukan.

Adakah yang bisa memastikan apakah proses berpikir saya benar?

Sekadar pengingat ... Pertanyaan ini sudah lama tidak terjawab

Terima kasih.

Answer 1

Pertama-tama, kita dapat mendefinisikan: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$

---

Sekarang dengan teorema multinomial: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ Dari sini Anda harus bisa memunculkan ekspresi untuk: $p_n^2$ dan $p_n'^2$.

---

Sekarang perhatikan juga bahwa dari apa yang kita ketahui (karena tidak ada akar yang nyata): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ kami tahu bahwa: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ dan dengan demikian jelaslah bahwa: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$