Untuk menunjukkan pusat homothety dari lingkaran terbesar dan terkecil terletak pada garis singgung bersama di atas T

Question

$c_1$ berpusat pada $A$ melewati $B$.

$BB′$ adalah diameter $c_1$.

$T$ titik acak di segmen $BB′$.

$c_2$ berpusat pada $B′$ melewati $T$.

$c_3$ berpusat pada $B$ melewati $T$.

$c_4$ bersinggungan secara eksternal dengan $c_2$ dan $c_3$ dan secara internal bersinggungan dengan $c_1$

$F$ adalah pusat $c_4$ dan $H,I$ adalah titik singgung.

Jelas bagi saya itu $Z = HI \cap AF$ adalah pusat homothety kedua dari $c_1$ dan $c_4$ dan saya ingin membuktikan bahwa itu juga terletak pada garis tegak lurus itu $AB$ melalui $T$.

hasil terkait penting yang mungkin harus Anda ketahui: Tunjukkan ketiga lingkaran ini berbagi garis singgung eksternal bersama

Ini tampaknya merupakan hasil umum tentang lingkaran kotor

Answer 1

• Mari bersinggungan dengan $T$ memenuhi $AF$ di $Y$ dan biarkan tegak lurus $AB$ melalui $F$ memenuhi $AB$ di $L$.

  
  Kemudian kami menghitung$y=LT$ dengan teorema Pythagoras: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ begitu $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ dan jadi kami dapatkan $$y= {ac\over a+b}$$ begitu $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• Di sisi lain biarkan $X$ berada di $HI\cap AF$.

  
  Homothety$H_1$ di $H$ dan koefisien ${b\over c}$ mengambil $F$ untuk $B'$ dan homothety $H_2$ di $G$ dan koefisien ${a+b\over b}$ mengambil $B'$ untuk $A$, jadi komposisi $H_2\circ H_1$ mengambil $F$ untuk $A$ dan berpusat di $FA\cap GH =X$. Komposisi ini memiliki koefisien$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ begitu $X$ membagi $AF$ dalam rasio yang sama seperti $Y$ dan dengan demikian $X=Y$ dan kita selesai.

Answer 2

Argumen dalam jawaban Aqua dapat dipersingkat sebagai berikut. Kami menggunakan nama titik yang sama, tetapi di sini$a,b,c$ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di $A,B',F$ masing-masing (ini mengubah arti $a$). Membiarkan$LT:TA$ menjadi $x$.

Seperti dijelaskan dalam Geometri Segitiga Yiu , hal 2 , pusat homothetic internal$X$ (alias pusat kemiripan internal) dari dua lingkaran $O(R),I(r)$ membagi segmen $OI$ dalam rasio $R:r$. Demikianlah titik homothetic internal$F(c),A(a)$ membagi $FA$ dalam rasio $c:a$.

Menggunakan Teorema Pythagoras seperti dalam jawaban Aqua kita dapatkan

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

Memecahkan $x$(menggunakan solver online jika kita malas) kita dapat$x=\dfrac{c}{a}$. Jadi

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

begitu $Y$ adalah pusat homothetic internal $c_1,c_4$.