Untuk prime $p \ge 5$ ada $n$ dengan $2 \le n \lt p -1$ dengan $[n]$ akar primitif dari kesatuan $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$.

Aug 19 2020

Membiarkan $p$ menjadi prima yang memuaskan $p \ge 5$.

Apakah yang berikut ini benar?

Ada bilangan bulat $n$ memuaskan

$\quad 2 \le n \lt p -1$
$\quad \text{The residue class } $[n]$ \text{ generates the multiplicative group } (\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$
$\quad$(yaitu $[n]$ adalah akar kesatuan primitif)

Jika pernyataan itu benar ada pertanyaan lanjutan,

Apakah ada bilangan prima yang bisa dipilih $n$?

Pekerjaan saya

Saya telah 'bermain-main' dalam teori bilangan sampai-sampai ini sekarang menjadi 'hal yang pasti' yang intuitif, tetapi semuanya dapat dihancurkan dengan contoh tandingan. Karena, jika benar, jawabannya mungkin terlibat, saya menambahkan tag permintaan referensi . Saya juga menambahkan tag dugaan, tetapi saya akan menghapusnya jika tidak dapat dipertahankan dari umpan balik yang saya dapatkan.

Jawaban

1 Nate Aug 23 2020 at 06:44

Oke, saya menemukan kasus umumnya. Saya masih akan meninggalkan jawaban saya yang lain.

Ingat itu $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}^\times \cong C_{p(p-1)} \cong C_p \times C_{p-1}$.

Secara khusus setiap root primitif $\alpha$ mod $p$ memiliki tepat satu lift $\hat{\alpha}$ mod $p^2$ yang tidak primitif, dan itu sesuai dengan yang hidup di $\{e\} \times C_{p-1}$subkelompok di isomorfisme di atas. Kita dapat melihat dari ini bahwa jika$\hat{\alpha}$ adalah mod primitif $p$ tapi bukan mod $p^2$ dari mod invers perkaliannya $p^2$ (yang mana $\hat{\alpha}^{p-2}$ dalam hal ini) juga mod primitif $p$ tapi bukan mod $p^2$.

Oke sekarang misalkan $\alpha < p$ adalah mod root primitif $p$ tapi tidak $p^2$. Pertimbangkan nomor uniknya$\beta < p$ seperti yang $\alpha \beta \equiv 1$ mod $p$. Saya mengklaim itu$\beta$ harus menjadi mod root primitif $p^2$. Kalau begitu, seandainya tidak$\beta$ harus kebalikan dari $\alpha$ mod $p^2$ karena ada elemen non-primitif unik yang kongruen dengan $\beta$ mod $p$, dan kita tahu kebalikan dari $\alpha$adalah satu. Namun sejak itu$\alpha < p $ dan $\beta < p$ kita punya itu $\alpha \beta < p^2$, jadi mereka tidak mungkin menjadi invers.

Nate Aug 23 2020 at 05:57

Ini buktinya kapan $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$:

Pertama, perhatikan bahwa jika $p \equiv 1 \mod 4$ kemudian $\alpha$ adalah mod root primitif $p$ iff $-\alpha$adalah. Seharusnya$(-\alpha)^b \equiv 1$ untuk beberapa $b < p-1$. Jika$b$ bahkan saat itu kami akan melakukannya $\alpha^b \equiv 1$, yang merupakan kontradiksi sebagai $\alpha$primitif. Jika$b$ aneh saat itu $\alpha^b \equiv -1$, yang hanya terjadi jika $b = \frac{p-1}{2}$ tapi itu tidak aneh sejak itu $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$.

Oke jadi sekarang mari kita lihat mod $p^2$. Saya mengklaim bahwa jika$\alpha < p$ adalah mod root primitif $p$ lalu setidaknya satu dari $\alpha$ atau $p-\alpha$ adalah mod primitif $p^2$.

Sejak $\alpha$ dan $p-\alpha$ adalah mod primitif $p$, lalu mod $p^2$ mereka primitif atau mereka memiliki keteraturan $p-1$. Misalkan kita memiliki keduanya$\alpha^{p-1}$ dan $(p-\alpha)^{p-1}$ kongruen dengan $1$ mod $p^2$. Memperluas ini dengan teorema binomial kita dapatkan:

$$1 \equiv (p-\alpha)^{p-1} \equiv -\binom{p-1}{1}pa + \alpha^{p-1} \equiv -(p-1)p\alpha +1$$

Yang berarti $(p-1)p\alpha$ habis dibagi $p^2$, tapi itu kontradiksi sejak itu $p$ adalah bilangan prima dan $\alpha < p$.