Untuk prime $p \ge 5$ ada $n$ dengan $2 \le n \lt p -1$ dengan $[n]$ akar primitif dari kesatuan $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$.
Membiarkan $p$ menjadi prima yang memuaskan $p \ge 5$.
Apakah yang berikut ini benar?
Ada bilangan bulat $n$ memuaskan
$\quad 2 \le n \lt p -1$
$\quad \text{The residue class } $[n]$ \text{ generates the multiplicative group } (\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$
$\quad$(yaitu $[n]$ adalah akar kesatuan primitif)
Jika pernyataan itu benar ada pertanyaan lanjutan,
Apakah ada bilangan prima yang bisa dipilih $n$?
Pekerjaan saya
Saya telah 'bermain-main' dalam teori bilangan sampai-sampai ini sekarang menjadi 'hal yang pasti' yang intuitif, tetapi semuanya dapat dihancurkan dengan contoh tandingan. Karena, jika benar, jawabannya mungkin terlibat, saya menambahkan tag permintaan referensi . Saya juga menambahkan tag dugaan, tetapi saya akan menghapusnya jika tidak dapat dipertahankan dari umpan balik yang saya dapatkan.
Jawaban
Oke, saya menemukan kasus umumnya. Saya masih akan meninggalkan jawaban saya yang lain.
Ingat itu $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}^\times \cong C_{p(p-1)} \cong C_p \times C_{p-1}$.
Secara khusus setiap root primitif $\alpha$ mod $p$ memiliki tepat satu lift $\hat{\alpha}$ mod $p^2$ yang tidak primitif, dan itu sesuai dengan yang hidup di $\{e\} \times C_{p-1}$subkelompok di isomorfisme di atas. Kita dapat melihat dari ini bahwa jika$\hat{\alpha}$ adalah mod primitif $p$ tapi bukan mod $p^2$ dari mod invers perkaliannya $p^2$ (yang mana $\hat{\alpha}^{p-2}$ dalam hal ini) juga mod primitif $p$ tapi bukan mod $p^2$.
Oke sekarang misalkan $\alpha < p$ adalah mod root primitif $p$ tapi tidak $p^2$. Pertimbangkan nomor uniknya$\beta < p$ seperti yang $\alpha \beta \equiv 1$ mod $p$. Saya mengklaim itu$\beta$ harus menjadi mod root primitif $p^2$. Kalau begitu, seandainya tidak$\beta$ harus kebalikan dari $\alpha$ mod $p^2$ karena ada elemen non-primitif unik yang kongruen dengan $\beta$ mod $p$, dan kita tahu kebalikan dari $\alpha$adalah satu. Namun sejak itu$\alpha < p $ dan $\beta < p$ kita punya itu $\alpha \beta < p^2$, jadi mereka tidak mungkin menjadi invers.
Ini buktinya kapan $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$:
Pertama, perhatikan bahwa jika $p \equiv 1 \mod 4$ kemudian $\alpha$ adalah mod root primitif $p$ iff $-\alpha$adalah. Seharusnya$(-\alpha)^b \equiv 1$ untuk beberapa $b < p-1$. Jika$b$ bahkan saat itu kami akan melakukannya $\alpha^b \equiv 1$, yang merupakan kontradiksi sebagai $\alpha$primitif. Jika$b$ aneh saat itu $\alpha^b \equiv -1$, yang hanya terjadi jika $b = \frac{p-1}{2}$ tapi itu tidak aneh sejak itu $p \equiv 1 \ (\text{mod } 4)$.
Oke jadi sekarang mari kita lihat mod $p^2$. Saya mengklaim bahwa jika$\alpha < p$ adalah mod root primitif $p$ lalu setidaknya satu dari $\alpha$ atau $p-\alpha$ adalah mod primitif $p^2$.
Sejak $\alpha$ dan $p-\alpha$ adalah mod primitif $p$, lalu mod $p^2$ mereka primitif atau mereka memiliki keteraturan $p-1$. Misalkan kita memiliki keduanya$\alpha^{p-1}$ dan $(p-\alpha)^{p-1}$ kongruen dengan $1$ mod $p^2$. Memperluas ini dengan teorema binomial kita dapatkan:
$$1 \equiv (p-\alpha)^{p-1} \equiv -\binom{p-1}{1}pa + \alpha^{p-1} \equiv -(p-1)p\alpha +1$$
Yang berarti $(p-1)p\alpha$ habis dibagi $p^2$, tapi itu kontradiksi sejak itu $p$ adalah bilangan prima dan $\alpha < p$.