Urutan Følner dengan bentuk aneh
Membiarkan $G$menjadi grup yang terpisah dan dihasilkan secara halus. Ingat itu$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$adalah urutan Følner jika$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ untuk setiap $g \in G$. Seperti diketahui, keberadaan urutan Følner setara dengan persetujuan$G$.
Seringkali dikatakan bahwa urutan Følner memiliki bentuk yang aneh . Pertanyaan lembut saya adalah: contoh manakah yang kita miliki yang mendukung klaim ini? Tentu saja jika$G$adalah pertumbuhan subeksponensial maka urutan bola membentuk urutan Følner, dan ini tidak memiliki bentuk yang aneh . Oleh karena itu, lebih khusus lagi: contoh kelompok pertumbuhan eksponensial mana yang kita ketahui yang memiliki urutan Følner eksplisit yang tidak terbuat dari bola?
Sebagai contoh dari contoh yang saya minta, urutan Folner berbentuk Bintang meminta set Følner dengan bentuk tertentu, sedangkan jawaban dari set dan bola Folner memberikan urutan eksplisit yang terbuat dari persegi panjang (sebagai lawan dari bola). Demikian juga, gugus ax + b memiliki barisan Følner yang terbuat dari persegi panjang di mana salah satu sisinya secara eksponensial lebih besar dari yang lain.
Jawaban
Aljabar di sini lebih berguna daripada gambar, tetapi gambarnya menyenangkan, jadi begini. Untuk mendukung komentar saya tentang penyala lampu, rendering cepat dari bola biasa dan set penyala lampu Følner. Sebenarnya saya tidak tahu mana yang lebih cantik, tapi set Følner sebenarnya yang lebih mirip bola.
Kedua gambar diambil dari sudut yang berbeda dan dengan demikian membentuk stereogram, jadi jika Anda melihat gambar paling kiri dengan mata kanan dan sebaliknya stereopsis Anda akan terlihat. Saya merasa ini membantu, jika tidak, Anda dapat mengabaikan salah satu dari gambar-gambar.
Pertama, bola atau jari-jari $3$dengan generator di mana kepala bergerak. Saat kepala bergerak ke kanan, Anda naik diagram. Saya menggunakan beberapa konvensi, yang mudah-mudahan bisa ditebak.
Berikut adalah set Følner tipikal dengan generator yang sama.
Pertanyaan ini populer pada tahun 50-an dan 60-an setelah teorema Folner dibuktikan. Banyak contoh set Folner yang aneh dibuat. Contoh khas dari kelompok di mana set Folner atau bola adalah kelompok penyulut lampu dan produk karangan bunga dari gtoups siklik tak terbatas. Untuk makalah yang lebih baru, lihat Anna Erschler. Pada profil isoperimetrik dari grup yang dibuat tidak terbatas. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 dan referensi di dalamnya.
Jawaban atas pertanyaan non-lunak Anda adalah bahwa grup berikut semuanya memiliki [setidaknya satu] perangkat pembangkit di mana bola diketahui bukan Folner, tetapi beberapa urutan ("persegi panjang") lainnya adalah: Baumslag-Solitar yang dapat dipecahkan, beberapa produk karangan bunga (termasuk penyala lampu), beberapa ekstensi dari$\mathbb{Z}^d$ oleh $\mathbb{Z}$ (yang diberikan oleh matriks tanpa nilai eigen dari norma 1), beberapa $ax+b$ kelompok dan pada dasarnya hampir semua kelompok pertumbuhan eksponensial yang setuju yang seri pertumbuhannya rasional dan telah dihitung (lihat di bawah untuk detailnya).
"keanehan" dari set Folner: Seperti yang disebutkan dalam pertanyaan, [urutan urutan] bola membentuk urutan Folner alami dalam kelompok pertumbuhan subeksponensial. Sekarang, seperti yang ditunjukkan oleh orang lain, bola (wrt ke beberapa genset terbatas) cukup "jelek". Ini dapat dibuat tepat jika seseorang mempertimbangkan konsep set Folner yang optimal:
Membiarkan $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (itu $\inf$ berjalan di semua set $A$ ukuran $\leq n$) menjadi profil isoperimetrik. Kemudian satu set$F$ optimal jika $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. Dengan kata: jika satu set$E$ tidak lebih besar [berdasarkan kardinalitas] dari $F$, maka rasio isoperimetrik $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, tidak mengalahkan rasio isoperimetrik $F$.
Seseorang dapat memeriksa (menggunakan ketidaksetaraan Loomis-Whitney) bahwa Folner yang optimal masuk $\mathbb{Z}^d$(wrt genset biasa) adalah kubus [hiper] (atau cenderung berbentuk persegi panjang). Ini adalah cara yang tidak ambigu untuk mengatakan bahwa bola adalah set Folner yang "kikuk". Sebagai perbandingan, set optimal sama sekali tidak "aneh" (karena harus dipilih dengan sangat baik).
Untuk mengetahui lebih lanjut tentang keanehan, lihat catatan samping di bawah ini.
Contoh eksplisit: Selanjutnya, berdasarkan kelompok pertumbuhan eksponensial, pertanyaan terbuka apakah urutan bola berikutnya adalah Folner. Saya memberikan jawaban parsial yang menunjukkan bahwa ini tidak terjadi ketika grup [bersama dengan pilihan set pembangkit] telah menjepit pertumbuhan eksponensial. Ini termasuk banyak produk karangan bunga, kelompok Baumslag-Solitar yang dapat dipecahkan dan beberapa ekstensi$\mathbb{Z}^d$ oleh $\mathbb{Z}$ (lihat tautan untuk detailnya).
Semua grup ini dapat ditulis sebagai produk semi-langsung. Jika$G$ dan $H$ setuju, maka orang dapat menunjukkannya $G \rtimes H$ setuju dan bahwa set Folner adalah dari Formulir $E_n \times F_n$ (dimana $E_n$ [resp. $F_n$] adalah urutan Folner dari $G$ [resp. $H$]). Dalam pengertian itu, set Folner yang kita temui (malas, dalam arti bahwa mereka diproduksi oleh bukti umum) dalam kelompok seperti itu adalah "persegi panjang".
Oleh karena itu kelompok yang disebutkan di atas [solvable Baumslag-Solitar, beberapa kelompok metabelian, kelompok yang deret pertumbuhannya rasional dan tidak memiliki dua kutub pada jari-jari konvergensi (yang meliputi banyak produk karangan bunga dan $ax+b$-groups)] adalah jawaban langsung untuk pertanyaan kedua Anda (untuk beberapa genset). Orang tahu bahwa bola (set penghasil wrt) bukan Folner tetapi beberapa set "persegi panjang" adalah (tepatnya: mungkin ada kelompok dengan tiang tunggal yang bukan produk semi-langsung atau ekstensi dari kelompok yang setuju; untuk kelompok ini [ jika ada yang diketahui] tidak ada himpunan "persegi panjang").
Untuk ekstensi non-split, deskripsi set Folner diberikan di sana oleh Ycor. Perhatikan bahwa seseorang dapat mengadaptasi arti dari "persegi panjang" untuk ekstensi non-split: dengan mengambil preimage dari himpunan Folner dari waktu hasil bagi beberapa himpunan Folner dari subkelompok.
Jadi sekarang orang mungkin berpikir bahwa set "persegi panjang" (dan bukan lagi bola) adalah favorit. Tapi kemudian ada juga kelompok sederhana dari pertumbuhan menengah, lihat pertanyaan ini . Dan (jika bukan untuk kelompok seperti itu, maka untuk kelompok pertumbuhan subeksponensial sederhana lainnya) Saya rasa bola adalah satu-satunya kandidat yang dimiliki.
Pada dasarnya, saya pikir masalahnya lebih berkaitan dengan bagaimana kita membangun kelompok yang setuju. Kami selalu menggunakan empat sifat persetujuan (ekstensi, subkelompok, hasil bagi, dan batas langsung). Jadi, seseorang mulai dengan pertumbuhan sebagai kriteria dasar, dan menggunakan keempat sifat tersebut (mungkin ada banyak cara untuk melakukannya). Ini akan memberi Anda set Folner yang diketahui untuk grup tertentu. Sebagai contoh konyol Anda bisa mengatakan bahwa Folner alami masuk$\mathbb{Z}^3$ adalah silinder (bola masuk $\mathbb{Z}^2$ kali masuk $\mathbb{Z}$).
Catatan Samping 1: Ini adalah pertanyaan terbuka yang sudah lama ada untuk membuktikan himpunan seperti apa dalam kelompok Heisenberg (kontinu) (meskipun bentuk dugaannya dijelaskan dengan baik). Itulah motivasi saya untuk pertanyaan ini .
Catatan Samping 2: Seperti yang ditunjukkan oleh Ycor, diberi urutan Folner$F_n$ Anda dapat membuatnya "seaneh yang Anda inginkan" dengan mempertimbangkan urutan himpunan terbatas yang sewenang-wenang $E_n$ dengan $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Salah satu keuntungan dari mempertimbangkan urutan Folner yang optimal adalah untuk menghindari pengaturan seperti itu (kerugian yang jelas, adalah bahwa hampir tidak ada kelompok di mana set optimal diketahui). Catatan selanjutnya adalah menambahkan himpunan seperti itu$E_n$tidak memiliki pengaruh pada ukuran invarian yang diperoleh (untuk ultrafilter tetap). Perhatikan bahwa menerjemahkan set dapat berdampak pada ukuran batas.
Catatan Samping 3: Berikut adalah aspek lain dari "keanehan" set Folner. Pertimbangkan urutannya$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, sebaik $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ set in $\mathbb{Z}$. Kemudian pertimbangkan fungsinya$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. Invarian berarti yang didapat dari$P_n$ di $f$ adalah 1 (apa pun ultrafilter yang Anda pilih), yang Anda dapatkan $M_n$ aku s $-1$ (sekali lagi, apa pun ultrafilternya) dan akhirnya yang Anda dapatkan $A_n$tergantung pada ultafilter yang Anda pilih. Dan Anda dapat membuat bilangan real apa pun di$[-1,1]$ sebuah urutan $R_n$yang konvergen ke angka itu (secara terpisah dari ultrafilter). Tidak terlalu sulit untuk membuat urutan yang dapat, tergantung pada ultrafilter, menyatu dengan bilangan rasional apa pun$[-1,1]$.