Verifikasi bukti dan pemahaman diperlukan

Nov 28 2020

Gunakan hasil latihan 1 untuk membuktikan jika A tak hingga dan B tak hingga dan B himpunan bagian hingga berhingga dari A maka A \ B tak hingga

Latihan 1 Misalkan A, B adalah himpunan berhingga yang terputus-putus. dan A≈m. dan B≈n, lalu. A ∪ B ≈ m + n. Simpulkan bahwa penyatuan dua himpunan berhingga adalah terbatas.

Catatan : masalah berasal dari buku Teori himpunan oleh Pinter

Bukti percobaan (Caveat Lector: biarkan pembaca berhati-hati ... Pengetahuan saya tentang set tak terbatas goyah, saya dapat menggunakan induksi dan pemetaan)

Saya membuktikan latihan 1. (Penulisan ulang lengkap)

Menulis A = (A \ B)$\cup$ B (1)

Menggunakan $A \cup B $ dari latihan 1 kita mendapatkan A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)

Sekarang anggaplah A memiliki himpunan bagian B yang tak terhitung dan A terbatas; yaitu, A ≈ n, B ⊆ A, dan B ≈ ω. Jadi B$\subset$(A \ B)$\cup$ B.

A \ B tidak dapat terbatas karena A tidak terbatas Jika a$\in$A \ B lalu a$\in B^{c}$ kemudian $B^c$ adalah tak terbatas yang merupakan kontradiksi karena B terbatas

Karenanya A / B tidak terbatas

Tolong

Jawaban

PaulSinclair Nov 29 2020 at 19:32

Beberapa hal:

$A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. Jadi$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ Tidak ada alasan untuk bersatu di semua elemen $B$ sebelum Anda menghapusnya dengan memotong $B^\complement$.
Anda menyimpulkan

$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$

Begitu $A\setminus B$ dan $B$ terputus-putus.

Argumen apa pun yang bisa Anda dapatkan "$A\setminus B$ dan $B$ terputus-putus "dari $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ akan bekerja jauh lebih mudah dari pernyataan Anda (2): $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. Atau lebih mudah lagi dari (apa yang saya asumsikan adalah definisi yang diberikan Pinter$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Anda cukup jelas menuju ke arah yang salah dan jelas hanya memutuskan untuk berpura-pura, berharap pembaca Anda sama-sama tersesat dan berasumsi bahwa Anda benar-benar telah mendemonstrasikan sesuatu.

Bahwa $A\setminus B$ dan $B$apakah keterputusan adalah sesuatu yang sangat jelas sehingga dipertanyakan apakah perlu untuk didemonstrasikan sama sekali. Dengan definisi set-builder yang saya berikan, hal itu dapat dibuktikan dengan mencatatnya$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, oleh karena itu tidak ada $x$ yang ada di keduanya $A\setminus B$ dan $B$. Jika Anda bersikeras pada bukti "set-algebraic", maka$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$

Anda tidak melacak asumsi Anda sendiri:

Sekarang anggap saja $A$ memiliki bagian yang tak terhitung banyaknya $B$ dan $A$terbatas ; itu adalah,$A \approx n, B \subseteq A$, dan $B \approx \omega$. Begitu$B\subset (A\setminus B)\cup B$.

$A\setminus B$tidak dapat terbatas karena A tidak terbatas ...

Selanjutnya, Anda tidak menggunakan salah satu item di atas dalam argumen Anda yang lain, jadi mengapa Anda menyebutkannya? Satu-satunya hal yang Anda gunakan adalah itu$A$ tidak terbatas, yang merupakan hipotesis dari teorema.

Jika $a\in A\setminus B$ kemudian $a\in B^\complement$ kemudian $B^\complement$ adalah tak terbatas yang merupakan kontradiksi sejak $B$ terbatas.

Saya berasumsi bahwa Anda menunjukkan itu $A\setminus B \subseteq B^\complement$, yang memang menyiratkan $B^\complement$tidak terbatas (dengan asumsi bahwa telah terbukti bahwa kelas dengan subkelas tak hingga itu sendiri tak terbatas). Tapi$B^\complement$ menjadi tidak terbatas sama sekali tidak bertentangan $B$menjadi terbatas. Faktanya, komplemen dari setiap himpunan hingga tidak terbatas. Pelengkap himpunan tidak ditetapkan menurut teori himpunan Pinter. Mereka adalah kelas yang tepat, dan kelas yang tepat selalu tidak terbatas.

Jika Anda ingin menggunakan latihan 1 untuk membuktikan ini, diperlukan bukti dengan kontradiksi. Tapi yang ingin Anda buktikan adalah "$A\setminus B$ tidak terbatas ", jadi asumsi yang perlu Anda buat adalah sebaliknya:"$A\setminus B$ terbatas ". Ketika Anda sampai pada sebuah kontradiksi, itu berarti bahwa asumsi yang membawa Anda ke sana adalah salah, dan jika"$A\setminus B$ terbatas "salah, lalu kebalikannya"$A\setminus B$ tidak terbatas "akan menjadi kenyataan.