C'è un motivo per cui questa tecnica non è valida?

Question

Cosa è $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? Un modo semplice per valutare questo limite è sostituire$0$ per $x$ al numeratore da ottenere

$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $

da $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ poiché una quantità sottratta dalla stessa quantità è 0. Questa tecnica aggira il problema della divisione per zero utilizzando il fatto che $\cos(0)$ è conosciuto.

Answer 1

No, non puoi affermarlo $x=0$ al numeratore while $x\ne0$ al denominatore!

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Utilizzando il tuo metodo, un modo semplice per valutare questo limite è sostituire $0$ per $x$ al denominatore per ottenere $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ poiché il numeratore è diverso da zero.

Answer 2

Un controesempio :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ Infatti $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, così $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$

Answer 3

@ChristinaDaniel OK, ecco un contro esempio: considera l'espressione $\frac{\sin 2x}{x}$ e lascia $x$ vai a zero: la risposta a questo limite è $2$. Ora considera l'espressione$\frac{\sin 2x-0}{x}$ per $x$andando a zero. La risposta a questo limite è ancora$2$. Ma$\sin0=0$ quindi possiamo ora considerare l'espressione $\frac{\sin 2x-x}{x}$, di nuovo con $x$andando a zero. Ma ora questo limite è$1$. Quindi, quando esegui una sostituzione "parziale", la risposta cambia. In altre parole, quando sostituisci$x$, devi farlo per ogni $x$ nell'espressione.

Answer 4

Permettere $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. Vogliamo trovare$\lim_{x\to e}f(x)$.

L'utilizzo del metodo proposto restituirebbe la risposta sbagliata.

Answer 5

Non è valido.

Non è possibile sostituire una variabile con una costante in una parte di un'espressione ma lasciarla come variabile in un'altra.

Se vuoi stimare un limite sostituendo una variabile con una costante, devi sostituirla ovunque. Se lo fai, ge$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ e questo non ci aiuta affatto.

Dobbiamo presumere $x \ne 0$ e se lo sostituiamo dobbiamo sostituirlo con $x = h\ne 0$ e otteniamo $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$e non possiamo sostituire$h$ con $0$ in alto e non in basso perché $h$ ISN "T $0$. E qualunque sia il file$x$ al numeratore è, il $x$ al denominatore deve essere la stessa cosa.

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Il ragionamento dell'errore è che un po 'confuso in alto $x\approx 0$ si intende $\cos x \approx \cos 0$non influenzerà molto. Ma questo è sbagliato. La fusione sul fondo fa un'enorme differenza.$\frac 1x \not \approx \frac 10$. È un no-no.

Completa no-no.

E completamente invalido.