La distribuzione normale condizionale [duplicato]
Vorrei trovare la distribuzione normale bivariata condizionale. Esistono due variabili normali dipendenti con la stessa distribuzione e il coefficiente di correlazione$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. Mi piacerebbe ottenere$P(X|Y>M)$.
Ho trovato l'aspettativa condizionale di $X$ dato che $Y$ è più grande di $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.
Ma qual è la varianza condizionale di $var(X|Y>M)$? È$(1-\rho^2)\sigma^2 $, come sarebbe nel caso di $var(X|Y=M)$, da cui la varianza non dipende $M$?
Ed è la distribuzione condizionale $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?
Risposte
La varianza condizionale dipende da $M$.
Non sono in grado di trovare una forma chiusa per la varianza condizionale, ma posso trovare una forma chiusa per la densità. L'ho trovato iniziando con la funzione di distribuzione cumulativa condizionale utilizzando la definizione di probabilità condizionale, quindi differenziata per trovare la densità condizionale.
La densità utilizzando il modulo di input di Mathematica è:
(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] -
((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] +
(1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))
La tua formula per la media condizionale è corretta.
So che la varianza condizionale dipende da $M$ perché l'ho calcolato per integrazione numerica.