La funzione di generazione semplice non funziona nel modo in cui la interpreto?
Supponiamo di indicare in A tutte le successioni di zeri e uno, con funzione generatrice$F (z) = 1/(1 − 2z)$.
Supponiamo ora di poter associare a ciascuno un numero primo singolo o doppio$0$o$1$, dando$0′$o$0′′$o$1′$o$1′′$, e vogliamo una funzione generatrice per il numero di stringhe di bit con primer distinti con$n$numeri primi attaccati.
Il set {$’$,$’’$} ha una funzione generatrice$G(z) = z + z^2$quindi l'insieme composto ha funzione generatrice$$F (G(z)) = 1/(1 − 2(z + z^2 ))= 1/(1 − 2z − 2z^2 )$$
In questo, quando estraggo il coefficiente di$z^2$, Ottengo$6$, ma quando conto a mano dovrebbe esserci$12$. ho ottenuto$6$da$1 + 2(z + z^2 )+ 4(z + z^2 )^2$, e il$12$viene da ogni opzione come antipasto con due opzioni per un secondario quando$n = 2$.
Sono confuso sul motivo per cui sto ricevendo$6$, perché quando mi autoconto, ottengo coppie$(0,0’’), (0,1’’), (1,1’’), (1,0’’), (0’ ,0’), (0’ ,1’), (1’ ,1), (1’ ,0), (0’’ ,0), (0’’ ,1), (1’’ ,1), (1’’ ,0)$che è$12$
Potrei interpretare male cosa dovrebbe essere n? Ho pensato che doveva essere uguale al peso del termine così$z^2$avrebbe$n=2$?
O sto interpretando male ciò che sta contando questa funzione generatrice?
Risposte
$G(z)$non è il GF per$\{',''\}$perché non sono numeri o una sequenza.
$G(z)=z+z^2$è il GF per$a_1=1, a_2=1, a_n=0, n\ge2$.
Il tuo GF è A002605 ,$a_n = 2(a_{n-1} + a_{n-2})$.