Probabilità di superare un esame dati due diversi schemi di valutazione
Ho avuto una discussione con un collega sulla probabilità di superare un esame dati due diversi schemi di valutazione e non sono sicuro di credere a ciò che ha affermato il mio collega.
Hanno affermato che dato un esame con 10 domande in cui un voto positivo è di 5 domande corrette e un esame con 6 domande in cui un voto positivo è di 3 domande, sarebbe meglio sostenere l'esame con 10 domande in quanto vi è una maggiore probabilità di superamento . Non ho accettato l'argomento in quanto sembra che gli esami siano equivalenti, ovvero che sia necessario un 50% per superarli. Tuttavia il mio pari era irremovibile riguardo al loro punto. Qualcuno può chiarire questo?
Risposte
La correttezza o l'erroneità dell'affermazione del tuo pari dipende dalla probabilità di successo di rispondere correttamente a ciascuna domanda.
Se si assume che il test sia un insieme di$2N$domande vero/falso, con N risposte corrette richieste per passare, dove è la tua probabilità di rispondere a qualsiasi domanda$p$, quindi la probabilità$P$del superamento della prova è tale che:
per$p<0.5$,$P$cade monotonicamente all'aumentare di N e nel limite di$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 0$, quindi sarà sempre preferibile scegliere la prova con il minor numero di domande.
per$p=0.5$la probabilità di superamento diminuisce ancora con l'aumentare di N (ma ora asintoti a 0,5),$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 0.5$, quindi scegli comunque il test con il minor numero di domande.
per$0.5<p<2/3$la probabilità di passare inizialmente diminuisce con l'aumentare di N, ma poi aumenta con N più grande e nel limite$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 1.0$, quindi la tua scelta dipenderà dal numero massimo di domande. Ad esempio, se$p=0.51$poi sedendo un test con$N\simeq570$domande è leggermente meglio che sostenere un test con$N=2$domande.
per$p>2/3$la probabilità di passare aumenta in modo monotono all'aumentare di N e nel limite$N {\rightarrow} {\infty}$,$P {\rightarrow} 1.0$, quindi dovresti sempre scegliere il test con il maggior numero di domande.
Nel tuo esempio, scegliendo un test di 6 o 10 domande, la tua probabilità di successo sarà approssimativamente uguale se$p\simeq0.564$(in quel caso$P\simeq0.7674$), sarebbe meglio fare il test di 6 domande se$p<0.564$, ma dovresti scegliere il test di 10 domande se$p>0.564$.
Il tuo amico ha torto, supponendo che tu stia lanciando una moneta per determinare se hai ragione o torto. Entrambi avete dimenticato che un punteggio pari a 0 è possibile, il che significa che la possibilità di passare non è del 50% per nessuno dei due.
Nel test con 10 domande, passano 6 su 11 possibili punteggi. Nel test di 6 domande, passano 4/7 punteggi. Se stai lanciando monete, allora le probabilità di passare sono
$$ \frac{1}{2^6}\sum_0^3 {6 \choose k} $$o$$ \frac{1}{2^{10}}\sum_0^6 {10 \choose k} $$
Per i test di sei e 10 domande rispettivamente. Questo è il 65% per il test di 6 domande e il 62% per il test di 10 domande.
È meglio sostenere l'esame di 6 domande se pensi davvero che ogni domanda sia un lancio di una moneta per stabilire se hai ragione.
Risposta: dipende, ma per un test vero/falso, il tuo peer non è corretto.
Ottenere 5 giusto e 5 sbagliato è come ordinare RRRRRWWWWW dove R è giusto e W è sbagliato. Ci sono$\binom{10}{5} = 252$modi. Allo stesso modo per 6 a destra, 7 a destra, ecc.
Questo è$\sum_{i=0}^{5} \binom{10}{i}$, che è uguale a$638$. Divisione per$2^{10}$ci fa ca.$0.623$.
Ora, ottenere 3 giusti e 3 sbagliati significa ordinare RRRWWW. Vogliamo trovare$\sum_{i=0}^{3} \binom{6}{i}$, che esce a$42$. Divisione per$2^6$ci fa ca.$0.652$.
$0.623 < 0.652$, quindi il tuo peer non è corretto.