Quanti gruppi (non isomorfi) di ordine 315 ci sono?

Question

Dimostrare che tutti questi gruppi sono un prodotto diretto di un gruppo di ordine 5 con il prodotto semi diretto di un gruppo di ordine 7 con un gruppo di ordine 9. Per favore aiutatemi a risolvere la mia soluzione! Aiuto apprezzato.

Il numero $315=3^2 \cdot 5 \cdot 7$. Dimostriamo che il gruppo è un prodotto diretto di$\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$ con un prodotto semidiretto di un gruppo ciclico di ordine 7 con un gruppo di ordine 9.

Usando i teoremi di Sylow, il numero di gruppi di ordine $5$ è l'uno o l'altro $21$ o $1$. Il numero$n_5= [G:N(P_5)]$, dove $P_5$ denota il gruppo di ordine Sylow $5$. Se$n_p=21$, poi $|N(P_5)|=3$, il che non è possibile poiché contiene un sottogruppo $P_5$. Pertanto, esiste un gruppo unico di ordine 5.

Ora dobbiamo determinare il numero di sottogruppi Sylow-7. Il numero$n_7 \equiv 1 \mod 7$ e $n_7 | 45$. Le uniche due opzioni sono quindi$15$ e $1$. Eliminiamo 15: abbiamo anche dai teoremi di Sylow che se viene chiamato un gruppo Sylow-7$P$, poi $n_p = [G: N_G( P)]$. Se$n=15$, quindi il normalizzatore ha l'ordine 23. Il gruppo $P$ è un sottogruppo all'interno del proprio normalizzatore, ma $15$ non divide $23$.

Ora esaminiamo i gruppi di ordine $9$. È facile mostrare che tutti i gruppi di ordine$p^2$sono abeliani. Pertanto, i gruppi di ordine$9$ siamo $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$ e $\mathbf{Z}/ 9\mathbf{Z}$. Gli automorfismi di$\mathbf{Z}/9\mathbf{Z}$sono determinati dalla posizione del generatore. Ci sono$\varphi(9) = 6$posizioni possibili. Ci sono$2$ automorfismi di $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$, in più possiamo scambiarci $(0,1)$ e $(1,0)$ in $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$, per un totale di $8$possibili automorfismi. I sottogruppi di ordine 7 hanno tutti i loro elementi di ordine 7, quindi non possono esserci mappe non banali da$\mathbf{Z}/7\mathbf{Z}$ in questi gruppi di automorfismi.

Quindi, troviamo che tutti i gruppi di ordine $315$ sono abeliane e prendono la forma $\mathbf{Z} /3\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/7\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$ o $\mathbf{Z}/9\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/7\mathbf{Z}\times \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$.

Answer 1

Ecco i tuoi errori:

Se $n_p=21$, poi $|N(P_5)|=3$, il che non è possibile poiché contiene un sottogruppo $P_5$.

No, se $n_5 = 21$, poi $\lvert N(P_5) \rvert = \lvert G \rvert / n_5 = 315/21 = 15$, il che non è ovviamente impossibile.

Se $n=15$, quindi il normalizzatore ha l'ordine 23.

No, se $n_7 = 15$, quindi il normalizzatore ha ordine $315/15 = 21$.

Il gruppo $P$ è un sottogruppo all'interno del proprio normalizzatore, ma $15$ non divide $23$.

L'ordine di $P$ è $7$, no $15$. $7$ divide $21$.

Ci sono $2$ automorfismi di $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$, in più possiamo scambiarci $(0,1)$ e $(1,0)$ in $\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/3\mathbf{Z}$, per un totale di $8$ possibili automorfismi.

In realtà ci sono $48$ automorfismi di $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

C'è un problema più grande qui: sembra che tu stia guardando ai gruppi di automorfismi per determinare le possibilità di un prodotto semidiretto, ma non hai nemmeno dimostrato che questo gruppo si decomponga come prodotto semidiretto! Questo è facile se tutti i sottogruppi di Sylow sono normali (ad esempio da Schur-Zassenhaus), ma in generale i sottogruppi di Sylow non sono tutti normali (infatti ci sono gruppi non abeliani di ordine 315).