Valutare $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx$
Sto cercando di valutare esplicitamente il seguente integrale $$ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx $$
Ho verificato su WolframAlpha che il valore dell'integrale sia $2 \pi$. Usando questo, ho tentato quanto segue.
Analizzo il coniugato dell'integrale e lo vedo $$ \overline{\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} dx} = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\overline{\sin\left(e^{ix}\right)}}{\overline{e^{ix}}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{-ix}\right)}{e^{-ix}} dx \overset{\color{blue}{u = -x}}{=}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(e^{iu}\right)}{e^{iu}} du $$il che ci conferma che l'integrale è reale. Da qui possiamo semplificare il nostro integrale trovando$\Re\left(\frac{\sin\left(e^{ix}\right)}{e^{ix}} \right)$.
Per evitare disordine, qui ho definito $c(t) := \cos(t)$ e $s(t):= \sin(t)$. Tenendo presente questo, lo capisco\begin{align} \Re\left(\sin\left(e^{ix}\right)e^{-ix} \right) &= \Re\left(\sin(c + is) (c -is) \right) = \Re\left(\frac{e^{-s}e^{ic}-e^{s}e^{ic}}{2i} (c -is) \right)\\ &=\Re\left(\frac{1}{2}\left(e^{-s}\left[\underbrace{\color{blue}{c\{c\}}}_{\cos(\cos(t)} + i\underbrace{\color{blue}{s\{c\}}}_{\sin(\cos(t)}\right]- e^{s}\left[c\{c\} -i s\{c\}\right] \right) (-s -ic) \right)\\ &=\frac{1}{2} \left(-e^{-s}c\{c\}s + e^{s}c\{c\}s +e^{-s}s\{c\}c +e^s s\{c\}c \right)\\ &=s \cos(c) \left(\frac{e^s -e^{-s}}{2}\right) + c \sin(c) \left(\frac{e^s +e^{-s}}{2}\right)\\ &=\sin(t) \cos(\cos(t))\sinh(\sin(t)) + \cos(t) \sin(\cos(t))\cosh(\sin(t)) \end{align}Ed è qui che ho avuto problemi, perché non ho idea di come avrei potuto integrare quell'ultima espressione. Ho provato a sfruttare la simmetria, ma la funzione è uniforme, quindi non credo di poterci fare molto senza trovare un antiderivativo (che suona molto spiacevole).
Qualcuno sa come potrei finire la mia soluzione? O in alternativa, qualcuno conosce un modo più semplice con cui posso provare questo risultato? Grazie mille!
Risposte
Permettere $z=e^{ix}$. Allora l'integrale diventa
$$\oint_{|z|=1} \frac{\sin(z)}{iz^2}\,dz$$
Puoi finire?
Dovresti essere in grado di usare la formula integrale di Cauchy. Il tuo integrale può essere riscritto come$$\int_0^{2\pi}f(e^{ix})\,dx,$$ dove $f(x)=\sin(x)/x$. Ora sostituisci$u=e^{ix}$, $du/u=idx$ in modo che il tuo integrale diventi $$\frac{1}{i}\int_\gamma \frac{f(u)}{u}\,du.$$ Qui, $\gamma$denota il cerchio unitario centrato all'origine nel piano complesso. Cauchy ci ha detto che questo integrale è giusto$2\pi f(0)$o nel tuo caso $$2\pi.$$ EDIT: In effetti, se $f$ è olomorfico sul disco dell'unità, ce l'abbiamo $$\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\,d\theta=2\pi f(0).$$
Considera l'integrale di contorno di $\frac{\sin(z)}{z^2}$ sopra il cerchio $\gamma$. Parametrizzazione del cerchio sull'intervallo$[-\pi, \pi]$ ci da $i \int \frac{\sin{e^{ix}}}{e^{iz}} dx$.
Possiamo prendere l'espansione Taylor di $\sin(z)$ per ottenere che l'integrale di contorno sia uguale a $\int_\gamma \sum\limits_{i = 0}^\infty \frac{z^{2i - 1}}{(2i + 1)!} dz$. Poiché la somma converge uniformemente sul cerchio, possiamo scambiare la somma e l'integrale per ottenere$\sum\limits_{i = 0}^\infty \int_\gamma \frac{z^{2i -1}}{(2i - 1)!}$. Ma per$i > 0$, questo è l'integrale di un monomio su un percorso chiuso, quindi l'unico termine che conta è il $i = 0$ termine.
Pertanto, l'integrale è uguale $\int_\gamma \frac{1}{z} dz = 2 \pi i$.
Quindi il tuo integrale originale è, infatti, $2 \pi$.