2変数積分の計算-積分の順序の切り替え
Aug 18 2020
この積分を計算する必要があります：
$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$
計算方法を学んでいないので $\int e^{a}{x} dx$ （ガンマ関数などの機能があるため）1つのオプションしか考えられず、 $dx \Leftrightarrow dy$
$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$
したがって $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$
これもまた、このガンマ関数につながります。（$\Gamma$...）そして私たちはそれをどのように扱うかを知りません（私たちのシラバスにはありません）
どんな助けでもいただければ幸いです！ありがとう！
回答
3 MarkViola Aug 18 2020 at 19:33
統合の順序を入れ替えるのは正しかった。
統合の領域はからに及ぶことに注意してください $\sqrt y\le x\le 1$ と $y\in [0,1]$。これはその地域と同じ地域です$0\le y\le x^2$ と $x\in [0,1]$。したがって、
$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$
そして今、あなたはこれをまとめることができます。