6人の乗客を3つの異なるホテルに分配する方法はいくつありますか？

Paco Adajarの良い答えの代わりに、を使用してケース分析を行うことができます $7$次のような場合。。。

乗客をID番号で識別できるようにする $1,2,3,4,5,6$。

しましょう $a,b,c$ 最終的にホテルに到着する乗客の数を示します $A,B,C$ それぞれ。

しましょう $\text{sort}(a,b,c)$ トリプルを示します $(a,b,c)$ 昇順で並べ替えました。

場合 $(1)$：$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,0,6)$。

この場合、 $$\binom{3}{1}=3$$ 以来の方法

• がある ${\large{\binom{3}{1}}}$ すべてを取るホテルを選択する方法 $6$ 乗客。

場合 $(2)$：$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,1,5)$。

この場合、 $$\binom{3}{1}\binom{6}{5}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}6{\,\cdot\,}2=36$$ 以来の方法

• がある ${\large{\binom{6}{5}}}$ を選択する方法 $5$ そのホテルの乗客。$\\[4pt]$
• 上記の選択が行われると、 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 残りを取るホテルを選択する方法 $1$ 旅客。

場合 $(3)$：$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,2,4)$。

この場合、 $$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$ 以来の方法

• がある ${\large{\binom{3}{1}}}$ 取るホテルを選択する方法 $4$ 乗客。$\\[4pt]$
• がある ${\large{\binom{6}{4}}}$ を選択する方法 $4$ そのホテルの乗客。$\\[4pt]$
• 上記の選択が行われると、 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 残りを取るホテルを選択する方法 $2$ 乗客。

場合 $(4)$：$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(0,3,3)$。

この場合、 $$\binom{3}{1}\binom{5}{2}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}10{\,\cdot\,}2=60$$ 以来の方法

• がある ${\large{\binom{3}{1}}}$ 乗客を乗せるホテルの選び方＃$1$ プラス $2$ 他の乗客。$\\[4pt]$
• がある ${\large{\binom{5}{2}}}$ を選択する方法 $2$ そのホテルの他の乗客。$\\[4pt]$
• 上記の選択が行われると、 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 取るホテルを選択する方法 $3$ 残りの乗客。

場合 $(5)$：$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,1,4)$。

この場合、 $$\binom{3}{1}\binom{6}{4}\binom{2}{1}=3{\,\cdot\,}15{\,\cdot\,}2=90$$ 以来の方法

• がある ${\large{\binom{3}{1}}}$ 取るホテルを選択する方法 $4$ 乗客。$\\[4pt]$
• がある ${\large{\binom{6}{4}}}$ を選択する方法 $4$ そのホテルの乗客。$\\[4pt]$
• 上記の選択が行われると、 ${\large{\binom{2}{1}}}$ ID番号が最も少ない乗客を乗せるホテルの選び方 $2$ 残りの乗客。

場合 $(6)$：$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(1,2,3)$。

この場合、 $$\binom{3}{1}\binom{6}{3}\binom{2}{1}\binom{3}{2}=3{\,\cdot\,}20{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=360$$ 以来の方法

• がある ${\large{\binom{3}{1}}}$ 取るホテルを選択する方法 $3$ 乗客。$\\[4pt]$
• がある ${\large{\binom{6}{3}}}$ を選択する方法 $3$ そのホテルの乗客。$\\[4pt]$
• 上記の選択が行われると、 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 取る他のホテルを選択する方法 $2$ 乗客。$\\[4pt]$
• がある ${\large{\binom{3}{2}}}$ を選択する方法 $2$ そのホテルの乗客。

場合 $(7)$：$\;\,\text{sort}(a,b,c)=(2,2,2)$。

この場合、 $$\binom{3}{1}\binom{5}{1}\binom{2}{1}\binom{3}{1}=3{\,\cdot\,}5{\,\cdot\,}2{\,\cdot\,}3=90$$ 以来の方法

• がある ${\large{\binom{3}{1}}}$ 乗客を乗せるホテルの選び方＃$1$ プラス $1$ 他の乗客。$\\[4pt]$
• がある ${\large{\binom{5}{1}}}$ を選択する方法 $1$ そのホテルの他の乗客。$\\[4pt]$
• 上記の選択が行われると、 ${\large{\binom{2}{1}}}$ 残りのID番号が最も少ない乗客を乗せるホテルの選び方 $4$ 乗客プラス $1$ 他の乗客。$\\[4pt]$
• がある ${\large{\binom{3}{1}}}$ を選択する方法 $1$ そのホテルの他の乗客。

のカウントを合計する $7$ ケースはの合計数を与えます $$ 3+36+90+60+90+360+90=729 $$ 予想通り。

3つのホテルをA、B、Cとします。ホテルAが取得するとします。 $m$ の乗客 $0 \le m \le 6$。がある$\binom{6}{m}$これが起こる方法。それからホテルBは取得する必要があります$n$ 残りの $6 - m$乗客。がある$\binom{6 - m}{n}$彼らがこれを行う方法。デフォルトでは、ホテルCが残りを取得します$6 - m - n$ 乗客。

したがって、ホテルがこれを行うための方法の総数は、次の式で与えられます。 $$ \begin{align*} \sum_{m=0}^6\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6}{m}\binom{6 - m}{n} &= \sum_{m=0}^6\binom{6}{m}\sum_{n=0}^{6-m}\binom{6 - m}{n} \\ &= \sum_{m=0}^6 \binom{6}{m}2^{6 - m} = (1 + 2)^6 = 729 \end{align*} $$ 前に与えられたように。

選択する方法の数 $a$ 最初のホテルの人々、 $b$ 2番目のホテルのために、そして $c$ 3番目のホテルの場合 $a+b+c=6$、は多項係数です $$\binom{6}{a,b,c}= \frac{6!}{a! b! c!}$$ したがって、可能な配置の総数は次のようになります。 $$\sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$ ここで、合計はすべての整数トリプルに適用されます $(a,b,c)$ と $a+b+c = 6$ そして $a,b,c \ge 0$。これを解決することはできますが、ショートカットがあります。

多項定理により、 $$(x+y+z)^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c} x^a y^b z^c$$ ここで、前と同じように、合計はすべての整数トリプルに適用されます $(a,b,c)$ と $a+b+c = 6$ そして $a,b,c \ge 0$。さあ、$x=y=z=1$、そして私たちは $$3^6 = \sum_{a+b+c = 6} \binom{6}{a,b,c}$$ の前の答えを再現します $3^6 = 729$。